Kann man IMMER die Ableitungsfunktion bilder und vor allem was bringt die?

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5 Antworten

Die Ableitungsfunktion hat viele verschiedene Anwendungen, v. a. in der Physik.

Hier ist z. B. die Ableitung des Weges nach der Zeit die Geschwindigkeit, die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist die Kraft und sehr, sehr viele andere Beispiele mehr.

Die Ableitungsfunktion ist NICHT immer bildbar - es gibt nicht differenzierbare Funktionen. Sogar stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind.

Ein Beispiel:

f: [0,1] --> [0,1]

/
| 2/3 f( 3 x ) ; 0 <= x < 1/3
|
|
f(x) = < 2/3 - 1/3 f( 3 (x-1/3) ) ; 1/3 <= x < 2/3
|
|
| 1/3 + 2/3 f( 3 (x-2/3) ) ; 2/3 <= x <= 1
\\

Der Nachweis der Stetigkeit für rationale x ist nicht allzu schwer. Daraus folgt die Stetigkeit für alle reellen x aus dem Definitionsbereich.

(Wenn man will, kann man diese Funktion leicht stetig auf die Menge aller reellen Zahlen fortsetzen.)

Der Nachweis der Nichtdifferenzierbarkeit ist nicht mehr ganz so leicht. Er beruht darauf, dass in jedem Teilintervall ein Teil-Teil-Intervall existiert, in dem die mittlere Steigung beliebig große (positive) Werte annimmt und ein Teil-Teil-Intervall, in dem die mittlere Steigung beliebig kleine (negative) Werte annimmt.

Zum Zeichnen:

Zeichne das Quadrat mit den Eckpunkten [(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)]

Zeichne die Punkte des Graphen für die x an den Grenzen der Definitionsbereiche der stückweisen Definition von f, das sind

(0, 0), (1/3, 2/3), (2/3, 1/3), (1, 1)

Denk dir die Rechtecke mit den Eckpunkten

(0, 0), (1/3, 0), (1/3, 2/3), (0, 2/3)

(1/3, 1/3), (2/3, 1/3), (2/3, 2/3), (1/3, 2/3)

(2/3, 1/3), (1, 1/3), (1, 1), (2/3 1)

In diese Rechtecke zeichest du jeweils ein affines Bild des Bildes im Ausgangsquadrat, wobei im mittleren Rechteck (wieder ein Quadrat) das Bild an der Geraden y = 1/2 gespiegelt werde muss.

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Beispiel : y=f(x)= 2 *x^2 abgeleitet f´(x)= 2 * 2*x=4 * x

Bestimme die Steigung m an der Stelle xo= 5

eingesetzt f´(5)= 4 * 5=20 dies ist die Steigung m=20

Wie ist der Winkel an dieser Stelle mit der x-Achse

tan(a)= Gk/Ak=m=20 ergibt den Winkel a=arc tan(20)=87,137°

Eine Tangente an der Stelle xo=5 bildet mit der x-Achse einen Winkel Alpha (a)=87,137°

Wo liegt bei f(x)= 2 *x^2 ein Extrempunkt

f´(x)=0= 4 * x ergibt x=0 hier liegt das "Minimum" der Parabel f(x)=2 *x^2

dies ist der "Scheitelpunkt" in diesen Fall

siehe dazu im Mathe-Formelbuch Kapitel "Funktionen" ,Maximum,Minimum,Wendepunkt ..

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Sagen wir du hast die Funktion 7x². Graphisch hat sie einen bogenförmigen Parabelverlauf. Die Ableitung 14x ordnet für jeden x Wert der Parabel eine Steigung zu. Die Steigung wird als y-Wert angegeben. Bildest du die Ableitung von 14x, erhältst du 14. 14 ist der Wert der Steigung des Graphen 14x. Bildest du die Ableitung von 14, erhältst du 0. Null ist die Steigung des Graphen von 14 (mit konstantem y Wert, also ein Graph parallel zur x Achse.

Und die Ableitung von 0 kannst du nicht bilden, bzw. es würde praktisch kein Sinn ergeben

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Kommentar von Rubezahl2000
28.09.2016, 22:53

Funktion: f(x) = 0
Ableitung: f'(x) = 0
Warum sollte das keinen Sinn ergeben?

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Die Ableitungsfunktion zeigt anschaulich die Steigung der Funktion.
Mit Hilfe der Ableitungsfunktion kann man z.B. Extrempunkte der Funktion ermitteln.

Nicht jede Funktion kann man ableiten. Z.B. die Betragsfunktion ist NICHT differenzierbar an der Stelle 0, d.h. für die Betragsfunktion existiert keine Ableitung bei x=0.

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Kommentar von CrEdo85wiederDa
28.09.2016, 23:05

bei z.B. f(x) = |x-1| ist die Ableitung an der Stelle x=0 sehr wohl definiert 😉

0

Die Ableitung kannst du bei verschiedensten Funktionen mit mindestens einer Variable bilden und sie verrät zum einen die Steigung der eigentlichen Funktion und ist zum anderen für diverse Rechnungen nötig, beispielsweise um Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) oder einen Wendepunkt auszurechnen.

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