Kann man f(x)=-2x^4+7x^2+4 in die Faktorisierte Form umwandeln?

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3 Antworten

Klar kannst du. Dazu brauchst du zunächst die Nullstellen.

Substituiere x²=z

--> f(z)=-2z²+7z+4

0=-2z²+7z+4

--> Nullstellen bei -0.5 und 4

--> Nullstellen von f(x) bei 2 und -2


--> f(x)=(x+2)*(x-2) * Rest


Den Rest kriegst du über 'ne Polynomdivision oder geschicktes Umformen hin, das würde hier den Rahmen sprengen.

ElSeto 17.05.2017, 18:56

Hat mich halt gewundert weil mit nur 2 Nullstellen bei einer Funktion 4 Grades ist es mega umständlich nur darüber nachzudenken wie man das in die Faktorisierte Form bringt. Aber schonmal danke für die Antwort. Bin leider soweit wie du gekommen und dann einfach versucht überall nach der Klammer nen Hoch 2 zu klatschen was natürlich net funktioniert hat.


Mit 4 nullstellen wär das ja kein Thema.

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MeRoXas 17.05.2017, 19:02
@ElSeto

Wenn du's komplett faktorisieren willst, kommst du auf

f(x)=-(x+2)*(x-2)*(2x²+1). Auf die letzte Klammer kommst du, wie gesagt, per Polynomdivision oder ein paar pfiffige Umformungen, die aber nicht wirklich naheliegend sind.

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diese Funktion hat 2 doppelte Nullstellen.

Du musst die jeweiligen Faktoren jeweils doppelt nehmen, einmal mit plus und einmal mit minus.

erkennt man daran, dass alle Potenzen gerade sind.

Allegemein ist es so, dass wenn du eine Nullstelle a hast teilst du die Funktion durch (x-a) und erhältst dann eine Funktion kleinerer Ordnung und suchst darin dann weitere Nullstellen.

So kämst du auf die selbe Lösung.

Probiers aus^^

f(x) = -2 * x ^ 4 + 7 * x ^ 2 + 4

z = x ^ 2 deshalb ist x = ∓√(z)

f(z) = -2 * z ^ 2 + 7 * z + 4

Davon die Nullstellen berechnen :

-2 * z ^ 2 + 7 * z + 4 = 0 | : (-2)

z ^ 2 - (7 / 2) * z - 2 = 0

Nun die pq-Formel anwenden, die findest du im Internet :

z _ 1 = - 1 / 2

z _ 2 = 4

Nun die Rücksubstitution durchführen :

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = ∓√(z) wie oben schon geschrieben.

Die Rücksubstitution wird sowohl auf z _ 1 als auch auf z _ 2 angewendet.

x _ 1 = - √(- 1 / 2) = - (1 / √(2)) * i

x _ 2 = + √(- 1 / 2) = + (1 / √(2)) * i

x _ 3 = - √(4) = - 2

x _ 4 = + √(4) = +2

i ist die imaginäre Einheit und zeigt an, dass man es mit Lösungen in den komplexen Zahlen zu tun hat.

Für f(x) = -2 * x ^ 4 + 7 * x ^ 2 + 4 kann man nun schreiben :

f(x) = -2 * x ^ 4 + 7 * x ^ 2 + 4 = -2 * (x + (1 / √(2)) * i) * (x - (1 / √(2)) * i) * (x + 2) * (x - 2)

Wichtig war dabei, den Vorfaktor -2 vor x ^ 4 nicht zu vergessen.

Also, ja, man kann f(x) in eine faktorisierte Form umwandeln, leider hat diese in deinem Beispiel 2 komplexe Linearfaktoren, was daran liegt, weil es 2 komplexe Nullstellen gibt.

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