Kann man die Wurzeln von Primzahlen ziehen?

13 Antworten

  • Im Raum der Natürlichen Zahlen haben Primzahlen keine Wurzel. Im Raum der Natürlichen Zahlen kann man nur aus Quadratzahlen die Wurzel ziehen. In diesem Sinne unterscheiden Primzahlen also nicht von allen anderen Zahlen außer Quadratzahlen.
  • Im Raum der Reellen Zahlen kann man aus jeder nicht-negativen Zahl die Wurzel ziehen. Primzahlen unterscheiden sich im Reellen nicht von allen anderen Zahlen.
  • Im Raum der komplexen Zahlen kann man aus jeder Zahl die Wurzel ziehen. Primzahlen unterscheiden sich im Komplexen nicht von allen anderen Zahlen.

Nach Definition kann man keine Wurzel ziehen, da eine Primzahl neben der 1 keine zwei Faktoren mehr haben darf. Das wäre für eine Quadratzahl aber zwingend der Fall.

(Es ist einer der Gründe, weshalb 1 aus den Primzahlen herausgenommen wurde.)

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Das  Gilt natürlich nur, solange du im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bist.

Im reellen Zahlenraum kann ich selbstverständlich die Wurzel aus 17 oder jeder anderen Primzahl ziehen.

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@Eismensch

Und wer arbeitet denn nun in der Schule mit nicht natürlichen Primzahlen? Was man in den reellen tut oder nicht tut, interessiert die, die gerade mit Primzahlen  gequält werden, überhaupt nicht, aber manche Antworten sind durchaus in der Lage, sie zu verwirren.

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Viel logischer ist die Herangehensweise über die Wurzelfunktion.

Es gibt zig Algorithmen zur Berechnung der Wurzel! 

Wurzel(x)= sqrt(x)=x^(1/2) = e^(ln(x)/2).

Und wenn man keine Einschränkungen beim Zahlentyp macht, sind alle 

Argumente (Input; selbst negative Zahlen) auch immer berechenbar (Funktionswert = Output).

Die wichtigen Fragen bei Funktionen sind:

a) Genauigkeit: es gilt: sqrt(Prime(x)) -> irrationales Ergebnis mit unendlich vielen dezimalen Nachkommastellen

{ Prime(x) ist die Primzahlfunktion} 

Da unsere Welt nur begrenzt viele Atome und Rechenzeit hat, kann immer nur eine begrenzte Anzahl an Nachkommastellen berechnet werden!

Wenn also die Frage  lautet: kann die Wurzelfunktion absolut EXAKT den Funktionswert von sqrt(Prime(x)) berechnen, so lautet die Antwort: 

Nein {denn es werden immer nur Näherungen berechnet)

Bei der Frage nach/mit vorgegebener Genauigkeit: Ja

Taschenrechner zeigen meist mehr Nachkommastellen an, als wirklich stimmen (oft nur 7 Stück)! Mit guten Computerprogrammen kann man selbst auf einem Home-PC leicht 10 Mrd. Nachkommastellen berechnen.

Oft wird das Ergebnis auch symbolisch {sqrt(x) } abgelegt, da sich bei Zwischenrechnungen später was kürzen kann.

b) Zahlentyp

reelle Zahlen wie irrational, komplex -> Antwort JA

Rest: rationale, ganze, natürliche -> Nein




Ja natürlich!
Aus ALLEN positiven reellen Zahlen kann man die Wurzel ziehen.
Und sogar noch mehr...

Klar, kann man, aber das Ergebnis dürfte stets eine irrationale Zahl sein.

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