Kann man die letzte Ziffer einer Zahl bestimmen?

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6 Antworten

musst du für jede basis ne extra formel aufstellen ... die du genannt hast ist leicht.  Basis 6 gibt immer als Einerzahl eine 6.

6 * 6 = 36,  6 * 6 * 6 = 216,  ....  wird immer 6 am Ende sein.

Bei anderen Basen gibts eine periodische Auswahl an Zahlen mit denen du eine leichte Formel basteln kannst.---

bei 2:

2 * 2 = 4,  8, 16, 32, 64, ... wiederholen  

also bei 2 wiederholt sich die Folge  {2, 4, 8, 6}  das heißt

du teilst den exponenten durch 4 ... 

kommt als rest 1:  dann ist die Einerzahl 2

2: 4,   3: 8,   rest 0:  einerzahl 6.   Nun noch eine Formel finden, die einen großen exponenten leicht den Rest bei einer Division durch 4 rausfinden lässst ... usw.


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Kommentar von ThomasAral
20.12.2015, 18:38

also ist die vorletzte Zahl gerade, dann ist der Rest der Division durch 4 das gleiche wie wenn man nur die letzte zahl durch 4 teilt,  d.h.    Rest 0 bei  0, 4, 8,  Rest 1 bei: 1, 5, 9,  Rest 2 bei  2, 6,  Rest 3 bei 3,7.

ist die vorletzte Zahl ungerade, dann ist der Rest der Division durch 4 das gleiche, wie wenn man 10 plus die letzte Ziffer durch 4 teilt, d.h. Rest 0 bei  2, 6,  Rest 1 bei 3,7,  Rest 2 bei 0, 4, 8,  Rest 3 bei  1, 5, 9.

2^527829275 hat folgende Einerzahl:

15 mod 4 = 3

4te Zahl der Folge (erste zahl gilt als Rest 0):  { 2, 4, 8, 6 }  = 6

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Hallo, 

da 6*6 eine Zahl mit einer 6 am Ende ergibt, nämlich 36, gibt auch 36 eine Zahl mit einer 6 am Ende, 216, usw. Alle Potenzen von 6 mit natürlichen Exponenten außer Null haben am Ende eine 6 stehen, also auch Deine Zahl.

Dasselbe ist bei der 5, immer 5 am Ende) der Fall oder bei Zehnerpotenzen (immer 0 am Ende). Auch bei Zahlen, die am Ende eine 1 stehen haben, enden die Potenzen mit natürlichen Exponenten, hier sogar einschließlich der Null, auf 1.

Herzliche Grüße,

Willy

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Es gibt den Pow-Mod-Algorithmus, mit den man ohne extrem große Zwischenergebnisse zum Ziel kommt.

Mod steht für Modulo = Divisionsrest 

x % y = x mod y = x - floor(x/y)*y mit floor = Abrundungsfunktion

Der Iterationsrechner unter

http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm

zeigt das online im Beispiel 122 

Wenn man letzte Stelle braucht, entspricht das Mod 10

braucht man 2 letzte Stellen mod 100

n letzte Stellen mod (10^n)

Für 2 Stellen also Init: aB[0]=a=6;b=41627825;c=100;

Nach 26 Schritten (Iterationen) ist man fertig -> siehe Bild 1

Der wissenschaftliche Umkehrfunktionen Rechner

php / RechnerMitUmkehrfunktion.php (auch im 1. LINK verlinkt)

kann bei der pow(x,y)-Funktion extrem viel mehr Stellen:

1.187138801258945388682272825...e32392744

mod N =62185373523334486174202512836925772005376

Bild 2

Ich kann Dir auch gern alle 32392745 Stellen ausrechnen -> dann bitte mit Begründung.

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Die letzte Ziffer eines Produkts hängt nur von der letzten Ziffer der beiden Faktoren ab.
Für das folgende gelte: "[...]" ist die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl (im Dezimalsystem), also beispielsweise [4]=4    [23]=3   [6238249]=9.
Da 6^41627825 = 6^41627824 * 6 folgt [6^41627825]=[6^41627824] * [6]
Jetzt könntest du unter Verwendung der Tatsache, dass [6²]=[36]=6 mittels Vollständiger Induktion beweisen, welches die letzte Ziffer von 6^41627825 sein muss.
Oder aber du guckst dir an, was [6²], [6³] und [6⁴] sind und reimst dir die Lösung für [6^41627825] selbst zusammen.

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Alle Potenzen von 6 haben eine 6 am Ende.

Lässt sich auch beweisen, habe dazu aber keine Lust.

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Kommentar von TSoOrichalcos
20.12.2015, 18:27

Und wenn ich z.B. 2^527829275 hab?

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Ich habe jetzt keine Antwort und im Internet steht auch nichts, aber wer hätte denn Lust mal eine Formel dazu zu machen :-) ?

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