Kann man den Arcussinus selber berechnen(Ohne Taschenrechner)?

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5 Antworten

§1: Rechnen bleibt Rechnen! Einzig die gewünschte Genauigkeit und die dazu benötigte Zeit wird vomAlgorithmus (Vorgehensweise, Teilfunktionen, Berechnungsgesetze)und der Rechnengeschwindigkeit der Logikeinheit/Rechenregister (CPU, Gehirn) beeinflusst.Viele Taschenrechner rechnen gerade mal 4 Nachkommastellen genau (nicht alle angezeigten sind richtig!)Die Ergebnisse der asin-Funktion haben bis auf sehr wenige Ausnahmen immer unendlich viele Nachkommastellen!Die Genauigkeitsangabe ist daher absolut wichtig!

§2: jede der über 300 bekannten Funktionen kann auf die 4 Grundrechenarten zurückgeführt werden!Für die Funktion arcsin(x)=asin(x) findet man über 2000 Algorithmen!{ich liebe hypergeometrische Funktionen, da 90% aller Funktionen damit berechnet werden können:

asin(x)=atan(x/sqrt(1-x²))=x*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,x²) }

§3: Allgemeine Algorithmen arbeiten immer mit den SI-Einheiten, was bei Winkeleinheiten Rad und nicht ° ist!

(° ist um den Faktor 180/Pi größer als rad)

§4: Für spezielle Funktionswerte gibt es Wurzeltabellen -> man braucht nicht rechnen, sonder kann ablesen.

http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

Beispiel asin(0.1)

Algorithmus: Reihenentwicklung um x=0 herum

Genauigkeit: 7 Stellen

asin(x)=x+x^3/6+x^5*3/40+... 

 einsetzen der 0.1:

1202009/12000000 = 0.1001674167...

exakter: asin(1/10) = 0.100167421161559796345523...

{falls gewünscht in Grad: *180/Pi ergibt 5.739° }

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..ja, PWolff hat recht. Sie konvergieren schlecht, oder genauer gesagt. Das Taylorverfahren konvergiert vor allem ungleichmäßig. Auf Deutsch: In der Nähe der Nullstelle reichen drei, vier oder fünf Glieder der Taylorreihe aus und Du hast den Arkussinuswert sehr genau. In der Nähe von +1 oder -1 rechnest Du Dich dumm und dämlich. Probier es mal aus. Es macht Spaß.

Im Taschenrechner laufen übrigens raffinierte Interpolationsverfahren. Für bestimmte ausgewählte Stützstellen sind Festwerte programmiert. Alles dazwischen wird mit bestimmten Verfahren aus den Stützstellen ermittelt und zwar so genau, wie es die Nachkommastellengenauigkeit eines Rechners erfordert.  Vor allem ist es  auch gleichmäßig schnell über den ganzen Wertebereich von -1 bis +1. Schau mal im Netz nach CORDIC Algorithmus. Das geht auch mit der Hand und macht auch Spaß!

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Natürlich geht das, und man hat das auch jahrhundertelang gemacht. Ist nur ziemlich aufwendig, weil die Verfahren nicht besonders gut konvergieren.

Beispiel: http://www.matheboard.de/archive/489176/thread.html

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Eine nette anschauliche Möglichkeit durch Zeichnen und Messen geht, wenn du mit der Definition des Sinus am Einheitskreis arbeitest. (Ich weiß nicht, auf welchem Niveau du diese Frage beantwortet haben möchtest)

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Nein, du kannst ja nichtmals den Sinus selber berechnen.

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