Kann jmd dieses Matherätsel lösen?

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4 Antworten

Also fangen wir mal an: Die Zahlen, die wir überhaupt betrachten können liegen zwischen 102030 und 336699 im Abstand von jeweils 10203 (denn nur so ist das Verhältnis 1:2:3 gewährt.

Nun muss die Zahl durch 72 teilbar sein. Gucken wir uns also an, welche Vielfachen von 10203 auch durch 72 teilbar sind. Dazu betrachten wir die Primfaktorzerlegung:

  • 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
  • 10203 = 3 * 3401

Obwohl ich nicht weiß, ob 3401 eine Primzahl ist, weiß ich mit Sicherheit, dass die Zahl weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist. Die 3 ist also der einzige gemeinsame Primfaktor beider Zahlen. Da 72 = 3 * 24 ist, ergibt sich als kgV(72,10203) = 244872. Diese Zahl erfüllt alle Bedingungen, also halten wir fest:

  • Die Zahl 244872 tut es

Stellt sich die Frage, ob es noch weitere Zahlen gibt. Dies ist aber schnell beantwortet: Jede weitere Zahl müsste ein Vielfaches von 244872 sein. Jedoch gibt es im Bereich zwischen 102030 und 336699 keine solche Zahl. Also ist die 244872 die einzige Lösung.

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Kommentar von maxundmaunzel
28.09.2016, 08:30

Ich habe noch eine kleine Frage dazu: wieso ist 336699 die größte mögliche Zahl und nicht 778899?😶

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Kommentar von JIAdist
13.10.2016, 19:04

Was geht dieser Zahlenverhältnis 1:2:3

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Die 6-stelligen Zahlen sind genau die Zahlen n mit Darstellung n=100²x+100y+z, wobei x,y,z ∈ [0, 100)∩ℕ und x≥10. Dann gilt

n erfüllt die Bedingungen gdw.
⟺ x:y:z ≈ 1:2:3 und n ≣ 0 mod 72
⟺ x:y:z ≈ 1:2:3 und 100²x+100y+z ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 64x+28y+z ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 64x+28(2x)+(3x) ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 51x ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 72 | 51x
⟺ y=2x & z=3x und 24 | 17x, da ggT(51,72)=3
⟺ y=2x & z=3x und 24 | x, da ggT(17,24)=1
⟺ y=2x & z=3x und x=24k, k ∈ ℤ

Da nun x, y=2x, z=3x ∈ [0, 100) ∩ ℕ und x ≥ 10, so gelten notwendigerweise:

  • 24·k = x ≥ 10 > 0, also k ≥ 1;
  • 3·24·k = z < 100, also k ≤ 1;
  • also k=1.

Dies, k=1, ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend, denn für x=24·1=24; y=2·24·1=48 und z=3·24·1=72 sind alle Bedingungen auf n erfüllt: n=100²x+100y+z=244872 ist durch 72 teilbar und 24:48:72 ≈ 1:2:3.

Darum ist die Lösung des Problem:

Die Menge alle Zahlen mit den Bedingungen = {244872}.
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Kommentar von JIAdist
13.10.2016, 19:04

Was geht dieser Zahlenverhältnis 1:2:3

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abcdef

ab|cd|ef

cd = 2 * ab

ef = 3 * ab

Es gibt nur eine Zahl die diese Bedingungen erfüllt -->

244872

Ich habe meinen Computer suchen lassen, wie man das mit Bleistift und Papier löst weiß ich nicht, sorry.

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Kommentar von Schule34
14.09.2016, 17:40

immerhin aber hattest du dafür eine seite benutzt

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Aber was ist mit 204060?

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Kommentar von JORA133
10.10.2016, 15:09

war blöd. ist nicht durch  9 teilbar....

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