Kann jemand mir mit Matheaufgabe helfen (Quadratische Umwandlung)?

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4 Antworten

Um an die Scheitel(punkt)form zu kommen, benötigst Du die quadratische Ergänzung.
allgemein sieht die so aus: f(x)=a(1x-d)²+e
dann ist bei S(d|e) der Scheitelpunkt und a gibt den Streckungs-/Stauchungsfaktor an und ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

Zuerst musst Du durch ausmultiplizieren (bzw. ausklammern) auf folgende Form kommen: f(x)=a(1x²+bx+c)+d

dann musst Du b halbieren, anschließend quadrieren, und dann diesen Wert addieren und gleichzeitig subtrahieren (das ist dann die quadr. Ergänzung). Der addierte Wert bildet dann mit dem x² und bx die 1. bzw. 2. binom. Form und kann als quadr. Klammer geschrieben werden.

Aufgabe 1)
f(x)=3x(x-1) |das x in die Klammer bringen um die Form (x²+bx) zu erreichen
f(x)=3(x²-x)  |hier ist das b=-1: jetzt quadr. ergänzen, also -1:2=-1/2, dann
                     quadrieren =1/4. die 1/4 jetzt addieren und subtrahieren
f(x)=3(x²-x+1/4 -1/4)  |die ersten drei Summanden der Klammer bilden den
                                   2. Binom
f(x)=3((x-1/2)²-1/4)     |die -1/4 noch ausklammern
f(x)=3(x-1/2)²-3/4

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Die Scheitelpunktsform der allgemeinen Parabelgleichung lautet:

f(x) = a (x - xS)² + yS wobei S ( xS | yS ) der Scheitelpunkt der Parabel ist.

Wir müssen also nur die Parabelgleichung in obige Form bringen und können dann die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen.

Machen wir mal ein Beispiel (nicht aus Deinen Hausaufgaben):

f(x) = 3 x² - 6 x + 1

f(x) = 3 ( x² -2 x ) +1

Quadratische Ergänzung

f(x) = 3 ( x² -2 x + 1² -1² ) + 1

f(x) = 3 [ ( x - 1)² - 1 ] + 1

f(x) = 3 ( x - 1 )² - 3 + 1

f(x) =  3 ( x - 1 )² - 2

Damit haben wir die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform gebracht und können die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen

S ( 1 | -2 )


Ein anderes Beispiel:

2 y - ( 3 x - 9 )² = 4

2y = [ 3 ( x - 3 ) ]² + 4

2y = 9 ( x - 3 ) ²  + 4

  y  = 1/2 [ 9 ( x - 3 ) ² + 4 ]

  y = 9/2  ( x - 3 ) ²  + 2

S ( 3 | 2 )


Mit diesen zwei Beispielen solltest Du jetzt in der Lage sein, Deine Hausaufgaben alleine zu lösen. Wenn es nicht klappt, postest Du bitte hier Deine Lösungsversuche und ich sag Dir dann, was daran eventuell falsch ist.


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f(x)=3x(x-1)

Zuersteinmal musst du wissen, dass Scheitelfunktionen die Form a(x-d)²-e haben. Daher multiplizierst du oben erstmal das x in die Klammer und ergänzt quadratisch:

f(x)=3(x²-x-1/4+1/4)

=3(x-1/2)²-3/4

Auf diese Weise musst du auch bei den anderen Aufgaben vorgehen.

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Nun, eigentlich ist das nicht unendlich schwer. Schauen wir uns mal die Aufg. 1 an

y = 3x(x-1)

(y = andere Schreibweise für f(x))

Jetzt brauchst Du nur sämtliche Glieder der Klammer mit 3 x multiplizieren.

f(x) = 3 x² - 3 x

Jetzt kannst Du die Funktion leicht zeichnen.

Bei Aufgabe 2 löst Du erst die innere Klammer (binomische Formel!), dann die äußere. Bei Aufgabe 3 multiplizierst Du erst die erste Klammer mit -3, dann die beiden Klammern untereinander. Und so fährst Du mit den anderern Aufgaben fort.

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Kommentar von Milb3
07.10.2016, 12:19

Das sind keine Scheitelfunktionen.

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