Kann jemand korriegieren?

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4 Antworten

|2-x| > |x-4|

Du musst zunächst unterscheiden, wo die Terme zwischen den Betragsstrichen positiv und wo negativ sind:

2-x ist positiv für x< 2
x-4 ist positiv für x>4

Das heißt, du hast 3 Bereiche, die du untersuchen musst:

Für x<2 ist 2-x positiv und x-4 negativ, d.h.
|2-x| > |x-4| -> 2 - x > 4 - x

Für 2<x<4 ist 2-x negativ und x-4 negativ, d.h
|2-x| > |x-4| -> x - 2 > 4 - x

Für x>4 ist 2-x negativ und x-4 positiv, d.h
|2-x| > |x-4| -> x - 2 > x - 4

(für die Grenzstellen musst du genaugenommen auch überlegen, was gilt)

Diese 3 Ungeleichungen gilt es zu lösen.

Ein Tipp: die Terme auf jeder Seite sind extrem einfach, zeichne dir die Graphen auf, und du siehst die Lösung sofort!

Du lässt einfach im Verlauf des Rechenwegs die Betragsstriche weg.

Die Betragsstriche musst Du mit Fallunterscheidung behandeln.

Ich hab mal Aufgabe 4 als Beispiel gemacht. Ich hab es nicht nachgerechnet, also ohne Gewähr

| x^2 - 2 x - 4 | < 4

1. Fall: x^2 - 2 x - 4 ≥ 0 Dann ist | x^2 - 2 x - 4 | = x^2 - 2 x - 4

Die Gleichung lautet dann

x^2 - 2 x - 4 < 4

Zusammen mit der Fallvoraussetzung gilt:

0 ≤ x^2 - 2 x - 4 < 4 | + 8

8 ≤ x^2 - 2 x + 4 < 12

8 ≤ ( x -2 )^2 < 12

In der Mitte steht ein Quadrat. Das ist immer positiv. Also darf die Wurzel gezogen werden, ohne dass sich die Ungleichheitszeichen umdrehen

SQRT(8) ≤ x -2 < SQRT(12)

2 + SQRT(8) ≤ x 2 + SQRT(12)

Also haben wir die Lösungsmenge L1 = [2+SQRT(8);2+SQRT(12)[

2. Fall: x^2 - 2 x - 4 < 0 Dann ist | x^2 - 2 x - 4 | = -(x^2 - 2 x - 4)

Die Gleichung lautet dann

-(x^2 - 2 x - 4) < 4 | (-1)

Zusammen mit der Fallvoraussetzung gilt

0 > x^2 - 2 x - 4 > - 4 | + 8

8 > x^2 - 2 x + 4 > 4

8 > (x -2)^2 > 4

SQRT (8) > x- 2 > 2

2 + SQRT(8) > x > 4

Lösungsmenge L2 = ]4;2+SQRT(8)[

Als Gesamtlösungsmenge erhalten wir L = L1 ∪ L2 = ]4;2+SQRT(12)[

Du kannst nicht einfach so die Betragsstriche weglassen, da muss für jedes Paar von Betragsstrichen eine Fallunterscheidung hin, ob das Innere größer oder kleiner als Null ist!

Ja stimmt, das ist wegen der Betragsstichemein Problem.

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@nisarahmadina

Weißt du denn, wie du hier vorgehen musst, um es richtig zu machen, oder brauchst du einen Tipp?

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Ist falsch, du kannst nicht einfach die Betragsstriche weg lassen.

Ja aber ich denke, wenn ich einfach die Betragsstriche weglasse, bekomme ich die unterschiedlichen Ergebnisse

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