Kann jemand den Rechenweg von |(4+3*j) *e^j*π/17| erklären?

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3 Antworten

Ich nehme an, mit

e^j*π/17

ist

e^{j⋅π/17}

gemeint. Eine e-Funktion, deren Exponent keinen Realteil hat, hat in jedem Fall den Betrag 1. Was einen von 1 verschiedenen Betrag liefern kann, ist daher nur der Faktor (4+3j).

Da 3, 4 und 5 ein sogenanntes primitives pythagoreisches Tripel bilden, d.h.

3
4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5²,

ist der Betrag 5, und das gilt für den Betrag des gesamten Ausdrucks.

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Das Rechnen mit komplexen Zahlen kann man sich besser verdeutlichen, wenn man sich den Real- und den Imaginärteil als zweidimensionalen Punkt auf einer xy-Ebene vorstellt.

Der Ausdruck (4+3*i) hat damit die Koordinaten x=4 und y=3 und entspricht dem Punkt P[4,3].

Der Betrag davon |(4+3*i)| ist einfach der Abstand des Punktes P[4,3] zum Ursprung O[0,0], also wurzel(4^2+3^2) = 5.

Die komplexe e-Funktion in der Form e^(i * x) hat den Realteil cos(x) und den Imaginärteil sin(x). Bezogen auf die zweidimensionale Ebene sind das also alle Punkte P[cos(x),sin(x)]

Der Betrag davon |e^(i * x)| ist wieder der Abstand des Punktes P[cos(x),sin(x)] zum Ursprung O[0,0], also

wurzel ( cos^2(x) + sin^2(x) ).

Laut Trigonometrie gilt cos^2(x) + sin^2(x) = 1, für alle x

also gilt |e^ix| = 1, wobei die Wahl von x völlig egal ist (hier pi/17).

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Punkt- vor Strichrechnung, Klammern vor "Nicht-Klammern". Sollte Klappen.

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