Kann jede Differentialgleichung in eine erster Ordnung umgewandelt werden?

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2 Antworten

Ich habe einen Blick in das Buch "NETZ - Formeln der Mathematik" geworfen, da steht -->

Die Differentialgleichung n-ter Ordnung für die mindestens n-mal differenzierbare Funktion f: x --> f(x) = y

y(n) = g(x,y,y´,...,y(n-1)

lässt sich durch Substitution

y´ = y _ 1 , y´´ = y _ 2, ... y(n-1) = y _ (n-1)

in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung überführen.

Die Gleichung hat sicher dann eine eindeutige Lösung mit den Anfangsbedingungen

y _ 0 = f(x _ 0), y´ _ 0 = f´(x _ 0), ... , y(n-1) _ 0  = f (n-1) (x _ 0)

wenn g in der Umgebung von (x _ 0, y _ 0, ... y (n-1) _ 0) stetig ist und die Lipschitzbedingung

|g(x _ 0, y _ 0 + ∆ y, ..., y (n-1) _ 0 + ∆ y(n-1)) - g(x _ 0, y _ 0, ..., y(n-1)_0)| < M * (|∆ y|+...+|∆ y(n-1)|)

mit M > 0 erfüllt ist.

Hinreichend für die Erfüllung der Lipschitzbedingung ist die Existenz von

∂g(x _ 0, y _ 0, ..., y(n-1) _ 0) / ∂y , ... , ∂g(x _ 0, y _ 0, ... y(n-1) _ 0) / ∂y(n-1)

Die Lösungsfunktionen der allgemeinen Lösung unterscheiden sich voneinander durch n willkürliche Parameter.

Das ist es, was im Buch steht, ob du damit was anfangen kannst, musst du selber sehen.

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Kommentar von DepravedGirl
29.10.2015, 20:24

Korrektur -->

in ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung überführen.

ich hatte das n übersehen.

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Noch eine Ergänzung: Mit Zustandsdifferentialgleichung ist in der technischen Anwendung diese Form gemeint:

dx/dt = f(t, x(t), u(t))

x: Zustand

u: Eingangsgröße

t: Zeit

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Kommentar von Physikus137
29.10.2015, 20:33

Wie das lasterhafte Mädchen schon geschrieben hat, erhältst du immer ein System aus n Differentialgleichungen erster Ordnung, wenn n die Ordnung der Ausgangsgleichung ist. Für lineare DGL ist das imho immer möglich, für nichtlinearen DGL im allgemeinen nicht. 

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