Kann ich zwei linear abhängige vekoren austauschen ohne den Raum zu verändern?

 - (Mathematik, lineare-algebra, Vektorrechnung)

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Wenn v wirklich linear abhängig von v1, v2 oder v3 ist, dann kannst du v durch den jeweiligen Vektor ersetzen und bist fertig.

Ist v nicht linear abhängig von einem einzelnen der 3 Vektoren, so reicht das aber leider noch nicht aus, um zu sagen, dass du keinen der Vektoren durch v ersetzen kannst, ohne den Raum zu ändern: v kann ja linear abhängig von der Menge aller 3 Vektoren zusammen sein. In diesem Fall gäbe es eine Linearkombination

v = a * v1 + b * v2 + c * v3 für reelle Skalare a,b und c.

Dann ließe sich einer der Vektoren durch v ersetzen, dessen Skalar von 0 verschieden ist.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathestudium

Aber müsste ich dann nicht auch rein theoretisch prüfen ob v von v1,v2 oder v1,v3 oder v2,v3 linear abhängig ist ?

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@awakenedChild

Das wird automatisch mitgeprüft: Wenn v linear abhängig von v1 und v2 ist, dann ist

v = a * v1 + b * v2, also

v = a * v1 + b * v2 + 0 * v3.

Daher ist v dann auch linear abhängig von v1, v2 und v3.

Tatsächlich ist die Bedingung, die ich in meiner Antwort gestellt habe, das einzige, was du prüfen musst.

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@MagicalGrill

Ahh ok vielen dank! ich versthe gerde überhaut erst richtig was die Lineare abhängigkeit von mehreren vektoren bedeutet. Danke!

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@awakenedChild

Jetzt bin ich doch wieder etwas verwirrt, ich muss dann ja sagen welchen vektor genau ich durch v ersetzen kann. Aber wenn nun die Menge linear abhängig von v ist, kann ich ja trotsdem keinen einzelnen vektor ersetzen.

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@awakenedChild

Ahh da v1, v2, v3 linear unabhängig sind, muss dann z.B. v, v1, v2 auch linear unabhängig sein, damit ich v3 durch v austauschen kann oder?

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@awakenedChild

Es steht in der Antwort: Wenn du v als Linearkombination der 3 Vektoren schreiben kannst, kannst du irgendeinen der 3 Vektoren durch v ersetzen, dessen Koeffizient von 0 verschieden ist.

Beispielsweise ist (1,0,0) = 1 * (0, 1, 0) + 1 *(1, -1, 0). In diesem Fall könnte ich jeden der beiden rechten Vektoren durch (1,0,0) ersetzen.

Andererseits ist (0,2,0) = 2 * (0,1,0) + 0 * (1,-1,0). In diesem Fall könnte ich nur den ersten Vektor durch (0,2,0) ersetzen.

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@MagicalGrill

Ah ja ok das Beispiel war sehr hilfreich! Jetzt habe ich es wirklich verstanden. Vielen Dank noch mal für deine Hilfe!

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v ist linear abhängig von v1, v2 und v3?

Erstelle eine Linearkombination aus v1, v2 und v3, die v darstellt. Ersetze dann einen der Vektoren so, dass v linear abhängig von v1, v2 oder v3 ist, der Vektor wird ersetzt, aber linear unabhängig von den anderen beiden Vektoren.

Ist v linear unabhängig von v1, v2 und v3, funktioniert es nicht.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Aber das Vorgehen wie ich es beschrieben habe funktioniert nicht ?
Also für jeden vektor einzeln zu überprüfen ob er linear abhängig zu v ist.

Ich will es ja für jeden vektor einzeln überprüfen oder ist das komplizierter?

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