Kann ich bei gebrochen rationalen Funktion immer die waagerechten Asymptoten berechnen, indem ich eine positive sehr hohe Zahl eingebe?

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4 Antworten

Hallo,

Du mußt eine Grenzwertberechnung durchführen, die auch ohne eine konkrete Zahl funktioniert. Du mußt die Funktion in eine solche Form bringen, in der eindeutig abgelesen werden kann, welchen Grenzwert sie für x gegen plus oder minus unendlich annimmt. Oft geht das durch eine Polynomdivision, in der ein Restbruch mit x im Nenner bleibt, der für x gegen unendlich Null wird. 

Beispiel:

f(x)=(x²+3x-2)/(x+1)

Nach Polynomdivision erhältst Du f(x)=x+2+4/(x+1)

Für x gegen unendlich wird 4/(x+1) Null und es bleibt x+2 übrig.

y=x+2 ist die Gerade, der sich die Funktion im Unendlichen annähert.  In diesem Fall hast Du es sogar mit einer schrägen Asymptote zu tun.

An der ursprünglichen Funktion dagegen kannst Du das Verhalten des Graphen für x gegen unendlich nicht ablesen. Einfach nur hohe Zahlen für x einzusetzen bringt nichts.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Anonymus1709
09.10.2016, 21:09

aber wieso Polynomdivision, die Nacht. man doch nur bei x hoch 3

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Die waagerechte Asymptote ist ja für plus- und minus-unendlich gleich. Daher reicht das Einsetzen einer hohen positiven Zahl. Es geht aber auch ohne für alle x große Zahlen einzusetzen:

Eine waagerechte Asymptote hast Du immer, wenn der Zählergrad kleiner oder gleich dem Nennergrad ist.

Ist der Zählergrad kleiner, dann ist die waagerechte Asymptote immer Null, weil der Nenner schneller anwächst als der Zähler, d. h. der Bruch wird immer kleiner. Betrachtest Du die Grenzwerte für Zähler und Nenner einzeln, erkennst Du an dem Vorzeichen des Bruches, ob es von oberhalb oder unterhalb der x-Achse Richtung Null geht.
Beispiel: f(x)=(-2x²-3x+5)/(x³+7)
Da der Zählergrad (=2) kleiner als der Nennergrad (=3) ist, ist der Grenzwert für plus-/minus-unendlich (die waagerechte Asymptote) gleich 0.
Für x->plus-unendlich erhälst Du (Zähler u. Nenner einzeln betrachtet):
minus-unendlich durch plus-unendlich, ergibt minus-unendlich, d. h. der Graph läuft nach rechts unterhalb der x-Achse Richtung Null.
Für x->minus-unendlich erhälst Du: minus-unendlich durch minus-unendlich, und das ergibt plus-unendlich (minus durch minus=plus), d. h. der Graph läuft nach links oberhalb der x-Achse Richtung Null.

Sind Zählergrad und Nennergrad gleich, dann ergeben die Koeffizienten der höchsten Grade die waagerechte Asymptote.
Beispiel: f(x)=(4x³-7x²+5)/(-3x³+400)
=> waagerechte Asymptote ist bei -4/3.

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waagerechte Asympt. hast du nur, wenn der höchste Exponent im Zähler und Nenner gleich ist; und dann teilst du nur die Koeffizienten durcheinander.

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kommt drauf an ob du die Asymptote gegen +oo oder -oo haben magst.

Denke mal beides.

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