Kann ich aus 2 gegebenen Punkten eine Funktion 3. Grades bilden?

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8 Antworten

Ja, das geht, aber es gibt keine eindeutige Lösung!
Es gibt entweder
gar keine Lösung, z.B. wenn die beiden Punkte die selbe x-Koordinate, aber unterschiedliche y-Koordinaten haben oder
unendlich viele Lösungen

Vorausgesetzt die beiden gegebenen Punkte haben NICHT die selbe x-Koordinate, dann gibt's viele viele viele verschiedene Funktionen 3. Grades, die durch die beiden Punkte verlaufen.
Der "einfachste" Fall wäre eine Gerade duch die beiden Punkte.

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Die Anzahl der notwendigen Unbekannten bei einer Steckbriefaufgabe sind nicht vom Grad der Funktion abhängig, sondern von der Menge der Koeffizienten. Nur im "Normalfall" gilt: Anzahl der Gleichungen ist Grad + 1.

f(x) = ax³ + bx² +cx + d           Da sind 4 nötig.

Eine normierte (ohne Vorzahl vor x³) braucht nur noch 3,
und eine normierte ohne a und Absolutglied kommt mit zweien aus.
Wird also als Anforderung eine Gleichung 3. Ranges vorgegeben und nur zwei Punkte, dann kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit von diesem Typ ausgehen:

f(x) = x³ + ax² + bx

Wenn nicht, muss es gesagt oder durch eine andere Bedingung angedeutet werden.

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Das geht lediglich, wenn dieser Punkt eine besonderes Eigenschaft ausweist. Handelt es sich bei einem Punkt beispielsweise um ein Extremum, so enthält der Punkt zwei Informationen. Wenn also eine Funktion einen Hochpunkt in P(1|2) hat, so gilt:

f(1) = 2

f '(1) = 0

Aber mit 2 Punkten, wo du als Information lediglich die Koordinaten hast, geht das nicht. 

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Kommentar von Tsipras
11.06.2016, 21:08

Das ist bei mir der Fall. Wie rechne ich denn dann weiter?

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Wenn es zwei beliebige Punkte sind:
JA, aber dann nur eine eine der nachfolgenden Funktionen

f(x) = ax³ + bx²
f(x) = ax³ + bx
f(x) = ax³ + b

Für die beiden ersten Varianten auch nur, wenn keiner der beiden Punkte den x-Wert Null hat.

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Man braucht immer mindestens so viele Angaben/Punkte für das aufstellen einer Funktion: Grad der Funktion+1.
In deinem Fall also 3+1=4

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Kommentar von Rubezahl2000
11.06.2016, 23:04

4 Punkte braucht man nur, wenn eine EINDEUTIGE Funktion gesucht ist. Danach ist ja nicht gefragt.
Wenn einfach nur eine Funktion 3.Grades durch 2 Punkte gesucht wird, davon gibt's unendlich viele ;-)
(Es sei denn die beiden Punkte haben den selben x-Wert)

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Nein, das geht im allgemeinen nicht. Laß mich das an einem Beispiel verdeutlichen.


Eine Funktion dritten Grades sieht ja so aus

y = a x^3 + b x^2 + c x +d

Wir müssen also die Parameter a, b, c und d kennen um die Funktion bilden zu können.

Nehmen wir an, daß wir folgende Punkte kennen

(1;1)

(2;2)

Dann haben wir die Gleichungen

1 = a + b + c + d

2 = a 8 + b 4 + c 2 +d

Wenn wir nach d auflösen und gleichsetzen gibt das

1 - a - b - c = 2 - a 8 - b 4 - c 2

1 - 7 a - 3 b = c

Wenn ich jetzt z.B. a = 1 und b = 1 wähle muß c = -9 sein. Damit gilt

 1 = a + b + c + d = 1 + 1 -9 +d

8 = d

Wenn Du alle Werte für den zweiten Punkt einsetzt siehst Du das es stimmt

2 = a 8 + b 4 + c 2 +d = 8 + 4 + -9 * 2 + 8 

Die Funktion y = 1 * x^3 + 1 * x^2 -9 * x +8 verläuft also durch die Punkte (1;1) und (2;2). 



Genauso hätte ich aber auch a = 1 und b = 2 wählen können. Dann wäre 

c = -12

und

1 = a + b + c + d = 1 + 2 -12 +d

10 = d

Wenn Du diese Werte in die Gleichung für den zweiten Punkt einsetzt siehst Du, daß dies auch stimmt

2 = a 8 + b 4 + c 2 +d = 8 + 8 - 24 + 10

Die Funktionen 

y = 1 * x^3 + 1 * x^2 -9 * x +8

und

y = 1 * x^3 + 2 * x^2 -12 * x + 10

verlaufen also beide durch die Punkte (1;1) und (2;2). 


Um alle vier Parameter a, b, c und d eindeutig festlegen zu können brauchst Du im allgemeinen vier verschiedene Punkte, aus denen Du dann ein Gleichungssystem mit vier verschiedenen Gleichungen konstruieren kannst.

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Kommentar von Rubezahl2000
11.06.2016, 22:57

Nach "eindeutig" war ja NICHT gefragt!
Deshalb ist "Nein" nicht wirklich die richtige Antwort, denn man KANN eine Funktion bestimmen, sogar unendlich viele :-)
"Nein" gilt nur, wenn die beiden Punkte die selbe x-Koordinate und unterschiedliche y-Koordinaten haben; dann gibt's KEINE Funktion.

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Ich denke nicht, da du soviele Bedingungen brauchst wie der Grad der Funktion.

Wenn du 2 Punkte gegeben hast und einer von denen ist ein Punkt des Graphen aber auch ein Sattelpunkt oder ein Extrempunkt oder Wendepunkt hast du dadurch automatisch mehr Bedingungen.

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Kommentar von Tsipras
11.06.2016, 21:09

Wie rechne ich denn dann weiter?

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