Kann ein Vektorraum erster Dimension überhaupt Vektoren beinhalten?

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6 Antworten

Natürlich. Ebenso wie ein Vektorraum mit null Dimensionen - der besteht dann eben nur aus dem Nullvektor.

Der Unterschied zu Skalaren wie der Temperatur besteht darin, dass ein Vektor sich als "Liste" von Zahlen auffassen lässt, und eine Liste (geordnete Menge) ist etwas anderes als ihre Inhalte. Wie eine Tüte mit Inhalt etwas anderes ist als nur der Inhalt oder eine Garage mit Inhalt etwas anderes als das Auto darin.

Ein Skalar ist eine einfache Zahl, z. B. 4,5.

Ein eindimensionaler Vektor ist eine Liste mit einem einzigen Listenelement, z. B. [4,5].

Ein nulldimensionaler Vektor ist eine leere Liste: []

Ein zweidimensionaler Vektor ist eine Liste mit 2 Einträgen, z. B. [4,5; -2,8]

(Ich betone noch einmal, dass die Auffassung eines Vektors als Liste nur eine von vielen möglichen Auffassungen ist, und wenn auch die einzige für einen Programmierer sinnvolle, so doch für den Physiker eine recht wenig sinnvolle.)

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Du hast in den Kommentaren nach Tensoren gefragt. Ein Tensor lässt sich auffassen als eine Liste, die ihrerseits aus Listen besteht. (Bzw. als Vektor, dessen Komponenten keine "Skalare", sondern wieder "Vektoren" sind. Das stimmt auch auf einer anderen Ebene - nämlich, wenn es darum geht, wie die Tensorkomponenten sich verändern, wenn man zu einem anderen Koordinatensystem übergeht. Dann muss man nicht nur die Komponenten des Gesamtvektors, sondern auch die Komponenten der Einzelvektoren transformieren.)

Dabei müssen alle Komponenten des Tensors Vektoren vom selben Typ (insbesondere derselben Dimension) sein. Z. B.

[[4,5; -2,8]; [-3,9; 8,1]; [11; 0]]

Von besonderem Interesse sind natürlich Tensoren, deren Komponenten dieselbe Dimension haben wie der Gesamttensor, dann kann man nämlich beide auf dasselbe Koordinatensystem beziehen und auf dieselbe Weise transformieren. Beispiele: Trägheitstensor, Spannungstensor (hier kommt übrigens der Name her - wörtlich "tensor" = "Spanner" (im wörtlichen Sinne, was habt ihr denn gedacht?)), Energie-Impuls-Tensor, ...

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Das Ganze funktioniert nicht nur - wie hier angedeutet -, wenn alle Vektoren Zeilenvektoren sind, sondern auch, wenn alle Vektoren Spaltenvektoren sind oder auch, wenn der Tensor ein Zeilenvektor und die Einzelvektoren Spaltenvektoren sind oder umgekehrt.

Man kann Tensoren auch als Matrizen darstellen, jedenfalls für die allermeisten Anwendungen. Allerdings muss man hier darauf achten, dass entweder der Gesamttensor ein Zeilenvektor und die Einzelvektoren Spaltenvektoren oder umgekehrt sind. Auch auf die Koordinatentransformation hat das einen entscheidenden Einfluss.

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Man kann einen Tensor nicht nur als Vektor aus Vektoren aufbauen, sondern auch als Vektor aus Tensoren. Damit bekommt man "Tensoren höherer Stufe" - ein Vektor aus Tensoren n-ter Stufe ist ein Tensor (n+1)-ter Stufe.

Skalare nennt man deshalb auch Tensoren 0. Stufe, Vektoren Tensoren 1. Stufe und die oben genannten Tensoren im engeren Sinne Tensoren 2. Stufe.

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Für weitere Informationen verweise ich auf die Literatur.

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Kommentar von NoTrolling
16.10.2016, 23:05

Es ist immer wieder eine Freude deine Antworten zu lesen. Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen!

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Kommentar von Raskolnikow21
17.10.2016, 21:10

Was zur definierenden Eigenschaft eines Vektors in der Physik gehört (bzw. ist), ist allerdings sein Transformationsverhalten unter Koordinatenwechseln. Man kann auch "Listen" konstruieren, die keine Vektoren sind. (Analog für Tensoren beliebiger Stufe)

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Die Elemente eines Vektorraumes sind per definitionem Vektoren. Bei einem eindimensionalen Vektorraum (ohne Einschränkung dem K^1 für einen Körper K) haben sie dann halt nur eine Komponente.

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Kommentar von NoTrolling
16.10.2016, 22:00

Ganz genau! Ein Skalar lässt sich damit auch in einem Vektorraum definieren? Was definiert dann ein Skalar?

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Kommentar von Raskolnikow21
17.10.2016, 21:20

Das ist zwar einerseits richtig, andererseits ist hier ein Vektorbegriff gemeint wird, wie in der Physik oder Differentialgeometrie üblich, der ein bisschen komplizierter ist.

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Hey,

ein Vektor gibt ja immer eine Bewegungsrichtung an und diese kann auch bei nur einer Dimension vorhanden sein. Stell dir einen Strich vor und einen Punkt darauf. Du kannst den Punkt auf dem Strich um den Vektor x verschieben. Wenn die Verschiebung 0 Einheiten beträgt, dann handelt es sich um einen Nullvektor, was auch ein Vektor ist.

edhuad

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Also ich denk das ist so:
Mit dem Skalar gibst du einfach eine Temeratur an. Mit dem Vektor gibst du aber an in welche Richtung sich die Temperatur bewegt also ob sie kleiner oder größer wird. Dummes Beispiel aber du kannst es dir vorstellen wie eine Linie. Ein Pfeil auf dieser Linie ist ein Vektor. Ein Punkt auf der Linie aber ein skalar :)

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Kommentar von NoTrolling
16.10.2016, 22:11

Also kann man sagen die Zeit ist ein Vektor?

Mir geht es gerade um die Definition der Zeit als zusätzliche Dimension. Ich dachte ein Skalar hat keine Ausdehnung.

Man könnte allerdings genauso eine Temperaturänderung im Raum mithilfe von Tensoren darstellen, nicht?

Btw: Was ist der Unterschied zwischen Vektor und Tensor?

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Kommentar von Raph101
16.10.2016, 22:25

Also die Zeit an sich ist denk ich ein Skalar. Der Zeitpfeil ist aber ein Vektor.

Ein Zensor ist einfach ein Objekt aus mehreren Vektoren also ein mehrdimensionaler Vektor. Dazu gibt gute YouTube Vodeos:)

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Kommentar von Raph101
16.10.2016, 22:37

Schau einfach mal^^

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es sind eben Vektoren mit nur einer Komponente. Auch andere Mengen von Funktionen wie bsp. trigonometrische Funktionen werden in Vektorräumen definiert


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Kommentar von NoTrolling
16.10.2016, 21:41

Ebenso skalare Größen? Dann sind sie ja keine Skalare mehr?!?

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Wieso fehlt hier die Richtung? Es ist ein VR mit einer Dimension, also gehen alle Vektoren in die gleiche Richtung. Ein eindimensionaler VR ist ja eine Gerade.

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Kommentar von NoTrolling
16.10.2016, 21:56

Wenn sich Skalare in einem Vektorraum definieren lassen, sind sie doch keine Skalare mehr, oder?

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