Kann ein Graph mit den Nullstellen -1,1,2 Und dem Grad 3 Punktsymetrisch sein?

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6 Antworten

Punktsymmetrie ist bei Parabeln 3. Grades in schulischen Kurvendiskussionen nur gegeben, wenn eine Nullstelle der Ursprung ist. Die anderen beiden dürfen sich im Betrag des x-Wertes nicht unterscheiden, sofern überhaupt vorhanden.

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In der Schule ist mit "punktsymmetrisch" oft "punktsymmetrisch zum Ursprung" gemeint. Das ist genau dann der Fall, wenn das Polynom nur ungerade Exponenten hat, also f(x) = ax^3 + bx. Dann ist eine Nullstelle bei x=0 und die anderen beiden sind +- wurzel(-b/a).

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Polynome 3-ten Grades sind punktsymmetrisch zu deren Wendepunkt w.

Es gilt dann  f(w + x) = -f(w - x).

Für das gegebene Polynom f(x)=(x-1) * (x+1) * (x-2) also den Wendepunkt bestimmen.

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  Schon wieder abgestürzt; der nervt mich ohne Ende.

  Folgende Ergänzung meiner Antwort Teil 2 . Ich beziehe mich im
Folgenden auf Teil 1 . Ich lese grade die hoch spannende Antwort von Surabaya.

   Zunächst mal ist es umständlich, den WP eines
Polynoms 3. Grades über seine 2. Ableitung bestimmen zu wollen. Wieder für FRS; du gehst immer aus von seiner Normalform

   f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0    (  2.1a  )

    Dann gilt

     x  (  w  )  =  -  1/3  a2     (  2.1b  )

  
Auch Schachpapa ist suboptimal; dass ihr ( 2.1b ) nicht in der Schule lernt, ist zu DEINEM Nachteil. Bei deinem Beispielpolynom kriegst du a2 über den Satz von Vieta

   a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = ( - 2 ) ===> x ( w ) = 2/3    (  2.2  )  

  
Die Formel von Surabaya für ( ungerade ) Punktsymmetrie ist allerdings falsch. Nimm einmal ( bei einer beliebigen Funktion ) an, du hast Punktsymmetrie gegen P0

     P0  (  x0  |  y0  )  ;  y0  =  f  (  x0  )         (  2.3a  )

      ( 2.3a ) führt auf eine Mittelwertbeziehung

  (V)  h  |  y0  =  1/2  [  f  (  x0  -  h  )  +  f  (  x0  +  h  )  ]   (  2.3b  )

  ( Das eingeklammerte V soll der ===> Allquantor sein. )

   Vergleiche ( 2.3b )  mit der ( geraden ) Achsensymmetrie gegen die ( vertikale ) Gerade x = x0

        f  (  x0  -  h  )  =  f  (  x0  +  h  )     (  2.3c  )

  
So ist z.B. sehr erfreulich: Ihr alle wisst, dass jede Parabel Achsen symmetrisch gegen ihren Scheitel verläuft. In ( 2.3c ) FEHLT im Gegensatz zu ( 2.3b ) jeder explizite Bezug auf y0 . Im Gegentum zu dem,was Surabaya behauptet, bezieht sich Punktsymmetrie nämlich NICHT auf das Koordinatensystem, sondern auf die INNERE Symmetrie des Grafen.  Ich
rechne grad noch f ( w ) nach mit ( 2.2 ) ; und dann folgt noch ein
Teil 3 , weil längere Texte hier Regel mäßig abstürzen.

   f ( w ) = ( 2/3 - 1 ) ( 2/3 + 1 ) ( 2/3 - 2 ) =  20/27   (  2.4  )

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 Dieser Editor ist echt unerträglich -schon wieder abgestürzt.

   Dies Teil 3, der sich auf Teil 2 bezieht; hier kennste den?

   " Was sagt uns das? Nichts.

    Und was haben wir davon? Wieder nichts ... "

   Für den Sonderfall kubischer Polynome lautet ( 2.3b )

   f  (  w  )  =  1/2  [  f  (  w  +  h  )  +  f  (  w  -  h  )  ]    (  3.1a  )

  
Und jetzt schnappt die Falle zu; und alle meine Gegner, die da unken, das habe keine Anwendung in der Schule. Die haben Unrecht. Denn so bald eine Funktion 3. Grades ein ( lokales ) MAXIMUM besitzt, muss sie notwendiger Weise Spiegel symmetrisch zu dem WP auch ein Minimum besitzen:

  ( x / y ) ( w ) = 1/2 [ ( x / y ) ( max ) + ( x / y ) ( min ) ]   (  3.1b  )

  
Hauptanwendungsgebiet  sind diese ===> Steckbriefaufgaben; häufig könnt ihr wie beim Schach, Go oder Sudoku versteckte Infos ausschlachten, von denen euer Lehrer gar nicht will, dass ihr sie kennt.
Drei kritische Punkte; Minimum, Maximum und WP . Habt  ihr zwei, so istgemäß ( 3.1b ) auch immer der dritte bekannt.

   Der Tricks sind ja viele; hier nur der wichtigste. Gegeben seien ( x / y ) ( w ) so wie ( x / y ) ( max ) . Jetzt rechnet ihr wie blöd mit einem gekoppelten LGS mit 4 Unbekannten - so zu Mindest wird das von euch erwartet ( Zähl ruhig selber nochmal nach. )

   Aus ( 3.1b ) schnitzt du dir x ( min ) und hast mit einem Schlag BEIDE Nullstellen von f ' ( x ) Alles was noch zu tun bleibt: ===> Aufleiten ( Wer in eine Schulaufgabe mehr wie zwei Unbekannte investiert, lebt verkehrt; die beiden ( bekannten ) Nullstellen sparen dir ja gerade 2 von 4 Unbekannten ein. )

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