Kann die Temperaturdifferenz zweier Körper beliebig kleine Werte annehmen?

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3 Antworten

Finde es gut, dass du den Dingen so hartnäckig auf den Grund gehst. Das tue ich auch und hab deshalb noch einmal auf diesem Problem rumgedacht.

Erstes Ergebnis: die Quantenmechanik spielt in der Herleitung der Temperatur keine Rolle. Damit ist das ein thermodynamisches Problem und daher meines.
Aus Sicht der Thermodynamik stellt sich das so dar:

1. Empirische Temperatur.
Die empirische Temperatur misst man dadurch, dass man ein Thermometer mit dem Messobjekt (hier Wasser) ins thermodynamische Gleichgewicht bringt und dann die Temperatur abliest. Hierzulande geschieht das in der Regel mit einem Celsiusthermometer. Hier gibt die Messgenauigkeit des Thermometers die kleinste Temperaturdifferenz vor. Alles unter der Empfindlichkeit des Thermometers gilt dann als gleiche Temperatur. Diese Temperatur ist in endlicher Zeit erreichbar.

2. Thermodynamische oder absolute Temperatur.
Die absolute Temperatur T (in Kelvin) wird über die Entropie S definiert:
T = Qrev / ∆S

Die Entropie hat Ludwig Boltzmann statistisch hergeleitet:
Dazu wendete Boltzmann das Gesetz der großen Zahl an. Das geht davon aus, dass ab einer bestimmten Anzahl von Teilchen sich deren Unterschiede statistisch ausgleichen, sodass man auf der Makroebene einen konstanten Wert messen kann. Als Mindestanzahl geht Boltzmann von 1 mol aus, also etwa 6* 10^23 Teilchen.

Die Temperatur ist ein messbarer Parameter der inneren Energie U. Die innere Energie U setzt sich aus der thermischen Energie, also der  Summe der kinetischen Energien der Teilchen sowie der potentiellen Energie zwischen den Teilchen zusammen.
Bei einem idealen Gas kann man die potentiellen Energien fast vernachlässigen, bei Wasser nicht, da wir da die Wasserstoffbrückenbindungen haben.

Gehen wir mal der Einfachheit halber davon aus, die innere Energie sei gleich der thermischen Energie, weil wir die potentielle Energie der Teilchen vernachlässigen. Dann gilt:
∆U = ∆Eth = ∆ ∑Ekin der Teilchen
Da ∆T proportional zu ∆ ∑Ekin der Teilchen ist, müssen wir also betrachten, ob Eth gequantelt oder kontinuierlich ist.

Aus ∆Eth = ∆ ∑Ekin der Teilchen folgt, dass die minimale Temperturdifferenz davon abhängt, ob Eth sich diskret oder kontinueirlich ändert. Dazu denken wir, dass alle Teilchen ihre Ekin beibehalten und sich nur 1 Teilchen ändert. Die Ekin dieses einzelnen Teilchens ist abhängig von dessen Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeitsänderung kann aber gegen 0 streben. Da haben wir keine Begrenzung durch das Plancksche Wirkungsquantum h. Wenn aber die Geschwindigkleitsänderung eines einzelnen Teilchens gegen 0 streben kann, kann auch ∆Eth gegen Null gehen und damit auch ∆T.

Die Kurve für die Erwärmung des Wassers ist daher stetig und differenzierbar und strebt gegen die waagrechte Asymptote bei 20°C.

Nur zur Erinnerung: das ganze beruht auf dem Gesetz der großen Zahl. Sobald man nur einzelne Teilchen betrachtet, gelangt man in die Quantenwelt, aber dann gilt die statistische Herleitung der Temperatur nicht mehr. Daher kann man für einzelne Teilchen auch keine Temperatur angeben.



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Kommentar von user21011982
28.04.2016, 13:06

Erst mal vielen Dank für Deine Mühe! Freut mich, dass jemand mitarbeitet. 

Allerdings stellt sich mir immer noch die Frage, ob ΔE_kin bzw. Δv nicht doch über die Planck-Einheiten gequantelt sind. 

Dazu folgende Überlegung: Möchte ich die Geschwindigkeit eines Körpers verändern, dann kann ich das doch nur tun, indem ich Strecke und/oder Zeit in ihrem Betrag um die entsprechenden Planck-Einheiten verändere. Kleinere Schritte sind soweit ich weiß nicht möglich. Lege ich also eine Planck-Länge in einer bestimmten Zeit zurück und möchte die Geschwindigkeit kleinstmöglich verringern, dann geht das nur, indem ich für die gleiche Strecke (weniger geht ja nicht) mehr Zeit aufwende. Und dieses Mehr kann minimal eine Planck-Zeit sein.  

 

 

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Kommentar von Hamburger02
28.04.2016, 18:07

Danke fürn Stern und für diese schöne Denksportaufgabe, die mich selber weitergebracht hat.

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in der normalen Physik ja, aber in der Quantenphysik bekommst du Probleme

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Theoretisch Ja.

Praktisch Nein.

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Kommentar von user21011982
27.04.2016, 18:46

Magst Du das noch etwas ausführen?

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