Kann die Kurvenschar f(x) = a * x + e ^ (-x) mehr als eine einzige reelle Nullstelle haben?

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6 Antworten

Bemerke, dass die Funktion e^(-x) bei x = 0 die Tangente 1 - x hat. Links dieses Punktes geht die Funktion sehr schnell gegen +unendlich und rechts dieses Punktes von oben gegen 0.

Wenn wir zwei Nullstellen provozieren wollen, dann gucken wir, was für sehr große Werte von a, Werte von a nahe 0 und sehr negative Werte von a geschieht. Wir sehen, dass für sehr große positive Werte von a die kleinen negativen x-Werte von a*x dominiert werden, und also für a groß genug negativ sein sollten. Für größere negative x dominiert die Funktion e^x wieder und wir bekommen positive Werte. Für Werte größer als 0 ist die Funktion trivialerweise immer strikt über 1. Zwischen -unendlich und 0 wechselt die Funktion also für a groß genug von positiv zu negativ und wieder positiv. Da die Funktion stetig ist, haben wir also zwei Nullstellen.

Das ist das lahme Argument, jetzt machen wir das ganze mal richtig.

a x + e^(-x) = 0

e^(-x)(a * x * e^(x) + 1) = 0 //Nullprodukt

a * x * e^(x) = -1

x e^(x) = -1/a

Jetzt kommt etwas was du eventuell kennst, nämlich die Lambertsche W-Funktion. Diese ist definiert als das Urbild von x e^(x), also ist unsere Lösung:

x = W(-1/a), und das ist die Lösung unserer Frage. "Aber da steht nur ein Wert, was ist mit der zweiten Nullstelle?" Die Funktion x e^(x) ist auf (-unendlich,0) nicht injektiv, dementsprechend gibt die Lambertsche W-Funktion auf (-1/e,0] zwei Zahlen aus. Das -1/e kommt daher, dass es der Tiefpunkt der Funktion x e^(x) ist. Wenn also -1/a zwischen -1/e und 0 liegt (wenn a > e), hat die Funktion zwei Nullstellen. Wenn du die Nullstellen berechnen willst dann geht das im allgemeinen nicht so einfach da wir eine transzendente Funktion vorliegen haben, aber es gibt gute Reihenentwicklungen für die Lösungen.

LG

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Kommentar von DepravedGirl
08.03.2016, 18:22

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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Für a < 0 und a=e gibt es eine Nullstelle

Für a>e gibt es zwei Nullstellen, da f(-1) < 0

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Kommentar von DepravedGirl
07.03.2016, 22:27

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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Natürlich gibt es Funktionen mit mehr als einer reellen Nullstelle

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Kommentar von DepravedGirl
07.03.2016, 22:47

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

User /- in Mikkey hat gezeigt, dass es ab a > e ^ 1 zwei Nullstellen gibt.

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Ja !! ab a=3 und größer bei a kleiner 3 nur 1 Nullstelle.Bei a=2 u.1 treten überhaupt keine Nullstellen auf.

Habe ich durch meinen unglaublich schlauen Graphikrechner (Casio) laufen lassen.

TIPP :Besorge dir auch solch ein Ding,dann weist du sofort,wie der "Hase" läuft !!

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Kommentar von DepravedGirl
07.03.2016, 22:44

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Ich habe den Fehler gemacht, dass ich keine weitmaschige Wertetabelle angefertigt habe, dadurch bin ich zu verfrühten Aussagen gekommen ;-))

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Ja. Wie schon in der Originalfrage beantwortet, ist das ein Fall §5 unter

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

mit der Lösung

x[n] = LambertW(n, -1/a) mit n= -2, -1, 0, 1

Die Anzahl der reellen Ergebnisse sieht man am besten in der Grafik, wo Realteil (blau) und Imaginärteil (rot) eingezeichnet sind.

Nur bei n=-1 und n=0 findet man oberhalb von e=2.7...

Bereiche, wo der Im-Teil 0 ist (reelle Lösung)

Bild 3 aus http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

zeigt LambertW im Bereich von -1/e...0 genau 2 reelle Lösungen hat

Bild 4 die Ausgangsfunktion, dessen Fläche vorgegeben war

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Kommentar von DepravedGirl
08.03.2016, 18:21

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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setz z. B. a=3 ein...

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Kommentar von DepravedGirl
07.03.2016, 22:10

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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