Kann das eine Parabel sein?

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3 Antworten

durch drei Punkte kan man - ausser in einigen patologischen Fällen - immer eine Parabel zeichnen. Das liegt daran, dass man zur Bestimmung der Koeffizienten a, b und c, der eine Parabel beschreibenden Gleichung f(x)=ax^2+bx+c, drei Gleichungen benötigt. Diese 3 Gleichungen werden durch drei Punkte in der XY-Ebene geliefert. Wenn die Punkte irgendwie in der Ebene liegen, benötigt man noch eine Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems. Die Parabel durch die von dir angegebenen Punkte wäre nicht nach oben offen, sonden zur Seite. Die Angabe "7 m hoher Bogen" ist in diesem Zusammebhang irgendwie überflüssig und deshalb unverständlich. Vielleicht solltest du den genauen Text deiner Aufgabe mitteilen.

berchne doch mit den 3 Punkten die Parabel und guck, ob bei x=7 der Scheitelpunkt liegt.

Nun, da man zwei Nullstellen der Parabel kennt (mehr kann es nicht geben), kann man die Nullstellenform aufstellen:

f ( x ) = a * ( x - 0 ) * ( x - 11 )

= a * x * ( x - 11 )

Den Parameter a kann man ermitteln, indem man den Scheitelpunkt in diese Gleichung einsetzt. Den Scheitelpunkt kennt man nämlich auch, da dessen x-Koordinate xs aus Symmetriegründen immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt und da der Bogen ys = 7 Meter hoch sein soll. Der Scheitelpunkt ist daher S ( 5,5 | 7 ). Es muss also gelten:

7 = a * 5,5 * ( 5,5 - 11 ) = a * ( - 30,25 )

a = - 7 / ( 121 / 4 ) = - 7 * ( 4 / 121 ) = - 28 / 121

Die Funktionsgleichung lautet also:

f ( x ) = ( - 28 / 121 ) * x * ( x - 11 )

Liegt nun auch der Punkt ( 1 / 2 | 2 ) auf diese Parabel?
Dann muss gelten:

2 = ( - 28 / 121 ) * ( 1 / 2 ) * ( ( 1 / 2 - 11 )

<=> 2 = - 14 / 121 * ( - 21 / 2 )

<=> 4 = - 14 / 121 * ( - 21 )

<=> 484 = - 14 * - 21 = 294

Das ist eine falsche Aussage. Somit erfüllt der Punkt ( 1 / 2 | 2 ) nicht die berechnete Parabelgleichung und liegt daher nicht auf der durch diese gegebenen Parabel.

Ich habe soeben mit "Schrecken" festgestellt, dass ich die Koordinaten des dritten Punktes falsch gelesen habe:

Gemeint ist nicht der Punkt ( 1 / 2 | 2 ) sondern der Punkt ( 1 | 2,2 ). Dementsprechend muss man natürlich prüfen:

2,2 = ( - 28 / 121 ) * 1 * ( 1 - 11 )

<=> 2,2 = ( - 28 / 121 ) * ( - 10 )

<=> 2,2 = 280 / 121

<=> 2,2 * 121 = 280

<=> 266,2 = 280

Das ist ebenfalls eine falsche Aussage, sodass also auch der Punkt ( 1 | 2,2 ) nicht auf der berechneten Parabel liegt.

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Du bist davon ausgegangen, daß die Symmetrieachse der Parabel genau senkrecht verläuft. Das muß aber nicht so sein. Wir sind es nur gewohnt, unsere Kegelschnitte mit ihren Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen auszurichten, weil sie sich so einfacher handhaben lassen.

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