jede ganz rationale Funktion ist differenzierbar über R--- Wie beweist man das?

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3 Antworten

Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion, also eines Polynoms, ist nach den Potenz-, Summen- und Faktorregeln stets auch ein Polynom. Angenommen, es gibt ein Polynom f(x), dass nicht auf ganz R differenzierbar ist. Das würde bedeuten, dass die für die Ableitungsfunktion f'(x) gilt: D_f ≠ R ; Das würde bedeuten, dass ein Polynom existiert, dessen Definitionsmenge nicht alle reellen Zahlen umfasst. Eine Definitionsmenge im reellen entsteht z.B., wenn eine Betragsfunktion verwendet wird, oder wenn im Nenner eines Bruchs 0 steht, oder wenn die Wurzel einer negativen Zahl mit geradem Wurzelexponenten genommen wird. All dies ist jedoch bei Polynomen definitionsgemäß nicht der Fall.

Deshalb ist die Ableitung eines Polynoms stets für alle reellen Zahlen definiert, also ist jede ganzrationale Funktion über R differenzierbar.

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Eine ganzrationale Funktion ist die Summe von Summanten, die jeweils aus einem Faktor und einer Potenz von x bestehen:

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Nun kann man die Summenregel anwenden, und die einzelnen Teile unabhängig voneinander differenzieren. Außerdem kann man zeigen, dass die Faktorregel und Potenzregel allgemein gültig sind (Jedenfalls für i >= 0). Differenziert ergibt dies:

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Kommentar von ReiInDerTube123
27.11.2016, 22:09

Anscheinend werden die Formeln nicht angezeigt.

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Jede ganzrationale Funktion lässt sich als polynomielle Funktion darstellen. Und solche Funktionen sind differenzierbar (die Ableitung von x^n ist nx^(n-1) für n > 0; der Rest folgt mit den Eigenschaften der Ableitung [Summenregel, Faktorregel] ).

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Kommentar von Tri2016
27.11.2016, 21:52

Aber das ist doch kein Beweis, oder? Warum lässt sich denn jede ganzrationale Funktion in eine polynomielle Funktion  umwandeln und warum sind die alle differenzierbar? :(

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