Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung Genauigkeit

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2 Antworten

Das ist die Abbruchbedingung beim "Iterationsrechner" (1. Suchergebnis).

Man vergleicht die beiden letzten Ergebnisse und definiert eine Genauigkeitsgrenze für das Argument (Genauigkeit auf 14 Stellen):

abs(x[n]-x[n-1])< 1e-14

Beim Newton-Verfahren ist es besonders leicht, da die Differenz bereits als Zwischenergebnis vorliegt (um das sich der Wert pro Iteration ändert). (setzt natürlich Konvergenz vorraus!)

Beim Intervallhalbierungsverfahren (Bisektionsverfahren) sollte man besser 1 Wert mehr vergleichen bzw. pessimistisch auf das x schauen, da man im ungünstigen Fall (an Intervallgrenze) zu gute Differenz bekommt. Beispiel 35 zeigt, wie man mit der Anderson-Björck Optimierung schneller zum Ergebnis kommt, indem man nicht einfach die arithmetische Mitte nimmt.

Hinweis: die Genauigkeit bezieht sich auf das Argument x und nicht darauf, wie dicht f(x) an 0 liegt. Gerade bei stark nichtlinearen Funktionen wie tanh(x) kann es erhebliche Unterschiede bei der Anzahl gültiger Nachkommastellen geben.

Du setzt deine bestimmte Nullstelle in die Funktion ein und schaust, wie weit dieser Wert von der 0 noch entfernt ist. Eine Aussage, wie groß die Entfernung deiner tatsächlichen Nullstelle zu deinem ermittelten Wert ist, gibt es allerdings nicht, denn dazu müsstest du ja die Nullstelle kennen, womit das Iterationsverfahren überflüssig wäre

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