Ist x/x eine gebrochen-rationale Funktion und hat sie eine Asymptote?

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4 Antworten

Die Funktion f mit f(x) = x / x ist eine gebrochen-rationale Funktion per definitionem.

Der Definitionsbereich ist Df = IR \\ { 0 }.

Untersucht man nun noch das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x gegen die Definitionslücke x0 = 0, dann stellt man fest, dass sowohl der linksseitige als der rechtsseitige Grenzwert jeweils 1 ist. Denn für x ungleich 0 darf man schreiben

f(x) = x / x = 1.

Demnach lässt sich die Funktion f stetig ergänzen zu

f(x) = x / x für x ungleich 0 und f(x) = 1 für x = 0.

Somit gibt es keine senkrechte Asymptote wie zum Beispiel bei der Funktion g(x) = 1 / x, denn dort gibt es keinen links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert für x gegen 0.

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Rein formal hast du mit f(x) = x/x eine gebrochen rationale Funktion.

Tatsächlich ist diese aber gleich der (oder besser äquivalent zur) rationalen Funktion g(x) = 1.

Das "Problem" des Funktionswerts f(0) ist gar keines, denn die Grenzwerte von links und von rechts gegen 1 sind ja jeweils gleich 1, also kann die Problemstelle durch die Definition f(0) = 1 behoben werden.

Hier darf man also formal die Faktoren x in Zähler und Nenner wegkürzen.

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Nein, das ist keine echte gebrochen-rationale Funktion, denn f(x) = x / x ist dasselbe wie f(x) = 1, was ein ganzrationales Polynom Nullten Grades ist.

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Kommentar von claushilbig
02.01.2016, 22:01

Jein ...

f(x) = x / x hat bei x = 0 eine Definitionslücke , f(x) = 1 aber nicht. Rein formal sind die beiden Funktionen also nicht dasselbe!

Allerdings ist die Definitionslücke hebbar, "optisch" kommen beide Funktionen aufs Gleiche raus ...

0

Für x=0 ist sie nicht definiert, also ist sie gebrochen rational, Asymptote bei y=0
Bin mir da aber nicht soo sicher...

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