Ist |R^5 ein Teilraum des |C^5?

5 Antworten

Wie iokii schon andeutet, kommt das auf denn zugrundeliegenden Körper an.

Wenn du C^5 als R-Vektorraum betrachtest, ist R^5 ein Unterraum davon.

Wenn du C^5 als C-Vektorraum betrachtest, kriegen wir beim R^5 Probleme! Ein Unterraum muss ja abgeschlossen unter Skalarmultiplikationen mit beliebigen Skalaren aus dem Grundkörper sein, also auch mit Skalaren wie der imaginären Einheit i.

Nun ist z.B. (1,0,0,0,0) in R^5, aber i * (1,0,0,0,0) = (i,0,0,0,0) ist nicht in R^5, weswegen der R^5 kein Unterraum sein kann.

@Melvissimo:

Heißt das dann, dass es beides sein kann, je nachdem wie man es betrachtet?! das kommt mir recht unpräzise vor, für Mathematik... oder ist die allgemein gültige Antwort "kein" Teilraum, weil man C5 auch als C-Vektorraum betrachten kann??! 

34

Das ist nicht wirklich unpräzise. Einen Vektorraum muss man streng genommen immer mit einem dazugehörigen Körper angeben. C^5 als C-Vektorraum und C^5 als R-Vektorraum sind halt als algebraische Strukturen voneinander verschieden, auch wenn sie dieselben Elemente beinhalten.

Z.B. hat C^5 als R-Vektorraum die Dimension 10, aber als C-Vektorraum nur die Dimension 5. 

Wenn du also fragst, ob R^5 ein Unterraum des C^5 ist, musst du zuerst sagen, welchen Grundkörper dein C^5 besitzt. Und für jeden festen Körper bekommst du dann eine eindeutige Antwort.

1

Hallo,

sehe ich auch so, kann aber nicht für die Richtigkeit garantieren.

Herzliche Grüße,

Willy

Was möchtest Du wissen?