Ist mein Weg zur Bestimmung der Monotonie einer Folge so richtig?

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3 Antworten

Hast Du inzwischen eine Lösung?

Ich habe mich grad noch mal an die Aufgabe gemacht. Hier mein Weg:

IA: a2 = -2 + √(4 + a1) = -2 + √(4 + (-2) + √2) = -2 + √(2 + √2) > a1,
denn 2 + √2 > 2

IS: Sei a(n+1) > a(n)
a(n+2) > a(n+1)
<=>  -2 + √(4 + a(n+1)) > -2 + √(4 + a(n))
<=>  √(4 + a(n+1)) > √(4 + a(n))
Dies gilt wegen der Induktionsvoraussetzung a(n+1) > a(n)

Das war's auch schon. :-)

Fast. Man benötigt nämlich auch, dass die Radikanden alle positiv sind. Dies folgt aber mehr oder weniger für alle Radikanden aus der Tatsache, dass -2 < a1 < 0 (gäbe eine eigene vollst. Induktion).

Das Pferd von hinten aufgezäumt könnte man (evtl. eleganter) auch dokumentieren:

a(n+1) > a(n)  =>  4 + a(n+1) > 4 + a(n)  =>  √(4 + a(n+1)) > √(4 + a(n))
=>  -2 + √(4 + a(n+1)) > -2 + √(4 + a(n))  =>  a(n+2) > a(n+)

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Kommentar von poseidon42
13.12.2015, 14:09

Also ich habe jetzt als Ansatz gewählt:

Ich konnte per vollständigen Induktion ohne Probleme zeigen, dass a(n) stets kleiner als ist, wobei dies aus der Grenzwertbestimmung folgte. Also in der Form:

lim (a(n+1)) = a = lim ( -2 + √(4+a(n)) = -2 + √(4 + a)

und damit ja:

a = -2 + √(4 + a) 

Aufgelöst nach a erhält man:

a = 0  oder  a = -3

Aus diesen Werten folgt also die Beschränkung durch 0, die -3 steht im Widerspruch zur Definition der Folge.

Das a(n) kleiner 0 ist, kann man nun für alle n € N\{0} mithilfe der vollständigen Induktion zeigen in der Form:

Beh.: a(n) < 0

IA) a(1) = -2 + √2  < 0  ---> A(1) ist wahr

IS) a(n+1) < 0   

-2 + √(4 + a(n)) < 0  II +2

√(4 + a(n)) < 2    

Und nach Induktionsvorschrift gilt ja: a(n) < 0 

----> 4 + a(n) < 4 

----->√(4 + a(n)) < 2 

Und damit wäre das ja auch für A(n+1) gezeigt.

Und zu guter letzt wäre halt die Monotonie zu zeigen:

a(n+1) > a(n)

-2 + √(4 + a(n)) > a(n) II +2

√(4 + a(n)) > a(n) + 2

Jetzt gilt ja für √(4 + a(n)) wie zuvor bestimmt:

0 <= √(4 + a(n)) < 2 

Und daraus folgt dann ja:

2 > √(4 + a(n)) > a(n) + 2

2 > a(n) + 2

0 > a(n)    und das dies stimmt wurde ja schon zuvor gezeigt. 

---> a(n) ist streng monoton steigend.

Ich bedanke mich schon mal im Voraus für die Mühe, aber wie gesagt ich brauche noch viel Übung und wäre für jede Korrektur dankbar.

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Ich habe Deinen Beweis noch nicht Schritt für Schritt sorgfältig gelesen. Mir sind aber zwei Dinge aufgefallen, die den Beweis leider zunichte machen:

Du hast an einer Stelle Deine Relation quadriert; da ist aber keine Äquivalenzumformung und auch keine gültige Folgerung, so dass Dein beweis ab diesem Schritt nicht mehr gültig ist.
[Beispiel: -5 < 3 |²   würde  25 < 9 ergeben]
Im Induktionsanfang benötigst Du das Quadrieren gar nicht, da unter der linken Wurzel bereits eine größere Zahl steht als rechts.

Und dann lese ich den Satz "Nach der Annahme der Monotonie ..." - Du sollst die Monotonie ja grad beweisen, hast sie an dieser Stelle aber (allgemein) vorausgesetzt. Dies ist keine Benutzung Deiner Induktionsvoraussetzung.

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Entschuldigung,dass ich einfach Ihre Frage "störe", aber ich habe eine Frage an Sie. Da Sie sich in Mathe gut auskennen, wollte ich Sie fragen, ob Sie mir eventuell ein paar Fragen zur Jacobi - Matrix beantworten könnten ?

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