Ist Mein Beweis richtig (Lineare Algebra)?

Beweis versuch - (Mathematik, Informatik, Beweis)

1 Antwort

Du zeigst A=B wenn A u B = A n B. Dazu zeigst du, dass wenn x in A, dann auch x in B, und wenn x in B, dann auch x in A. Sehr gut.

Was der Vollständigkeit halber noch fehlt ist die Rückrichtung, d.h. dass A u B = A n B wenn A=B. Aber das ist natürlich trivial.

Ist das wirklich gefordert? in der Aufgabenstellung verstehe ich das eigentlich nur als Implikation und nicht als Äquivalenz

0
@Hexadris

In der Aufgabenstellung hast du geschrieben:

"[...] genau dann, wenn [...]"

Du musst also eine Äquivalenz zeigen, keine Implikation.

Siehe auch: Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Logische\_%C3%84quivalenz#Schreib-\_und\_Sprechweisen

----

Also ja, dir fehlt tasächlich noch eine Zeile in der du schreibst:

"Offensichtlich folgt aus A = B auch A u B = A n B."

Oder ausführlicher:

"Offensichtlich folgt aus A = B auch A u B = A u A = A = A n A = A n B."

[Oder so etwas ähnliches.]

0
@Hexadris

(⟹) Wenn A=B, dann A∩B = A∩A = A = A∪A = A∪B, wie [mihisu] zeigt.

(⟸) Angenommen, A∩B = A∪B.

Sei x ∈ A. Dann gilt [x ∈ A oder x ∈ B]. Also x ∈ A∪B (=A∩B). Also gilt x ∈ A∩B. Also gilt [x ∈ A und x ∈ B]. Also x ∈ B. Also gilt (i) [für alle x∈A dass x∈B].

Analog erhält man durch symmetrische Argumentation (ii) [für alle x∈B dass x∈A].

Zusammengefasst folgt aus (i) & (ii) für alle Objekte x, dass x∈A ⟺ x∈B.

Axiomatisch folgt, dann, dass A = B. (Siehe Extensionalitätsaxiom.)

0

Was möchtest Du wissen?