Ist "lim(h-->unendlich) (1+(1/n))^n = e" der Beweis, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder e^x ist?

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2 Antworten

Hallo,

nicht so ganz.

Um zu beweisen, daß die Ableitung von e^x auch wieder e^x ist, bildest Du zunächst den Differenzenquotienten für eine allgemeine Potenzfunktion 
f(x)=b^x und zeigst am Ende, daß die Ableitung im speziellen Fall b=e wieder e^x ist.

Das geht folgendermaßen:

Der Differenzenquotient wird bekanntlich aus [f(x+h)-f(x)]/h gebildet, wobei der Grenzwert für h gegen Null berechnet wird.

Wir bilden also den Limes für h gegen 0 von [b^(x+h)-b^x]/h

Den Zähler formen wir gemäß den Potenzregeln um:

[b^x*b^h-b^x]/h

Ausklammern von b^x:

b^x*(b^h-1)/h

Den Limes kannst Du nun direkt vor die Klammer ziehen, da b^x von h unabhängig ist:

b^x*lim (h gegen 0)(b^h-1)/h

den Ausdruck b^h-1 ersetzen wir nun durch k

Dann ist b^h=k+1 und h ist log (b) (k+1), also die Zahl, mit der die Basis b potenziert werden muß, um k+1 zu erhalten.

Da b^h-1=k und b^h-1 für h gegen 0 gegen 0 geht, geht auch k für h gegen 0 gegen 0 und wir können den Limes h gegen 0 durch den Limes von k gegen 0 ersetzen:

Nun erhalten wir:

b^x*lim (k gegen 0) k/[(log (b) (k+1)]

Zähler und Nenner werden nun mit 1/k erweitert:

b^x*lim (k gegen 0) 1/[(1/k)*log (b) (k+1)]

Da (1/k)*log (b) (k+1)=log (b) (k+1)^(1/k):

b^x*lim (k gegen 0) 1/[log (b) (k+1)^(1/k)]

Den Limes können wir direkt vor (k+1)^(1/k) ziehen, da der Rest von k unabhängig ist:

b^x*1/[log (b) lim (k gegen 0) (k+1)^(1/k)]

Nun aber ist der Limes von k gegen Null für (k+1)^(1/k)=e, denn

(k+1)^(1/k)=e^[ln (k+1)^(1/k)]=e^[(1/k)*ln k+1)], wobei der Limes wieder direkt vor den Exponenten gezogen werden kann:

e^[lim (k gegen 0) (ln (k+1)/k]

Da sowohl ln (k+1) als auch k für k gegen Null gegen Null gehen, können wir für die Grenzwertbestimmung die Regel nach l'Hospital anwenden, also die Grenzwerte der Ableitungen von Zähler und Nenner berechnen:

So kommen wir auf e^[lim (k gegen 0) [(1/(k+1))/1]

Der Exponent geht für k gegen 0 also gegen 1.

Damit geht e^[lim (k gegen 0) ln (k+1)/k] gegen e^1 und damit gegen e.

Nun zurück zu b^x*1/[log (b) lim (k gegen 0) (k+1)^(1/k)]

Da der Limes, wie gezeigt wurde, gleich e ist, erhalten wir:

b^x*1/[log (b) e] als Grenzwert des Differenzenquotienten von [b^(x+h)-b^x]/h und damit als Ableitung von f(x)=b^x

Wenn wir für b nun e einsetzen, ist f'x)=e^x/[log (e) e]

Da der Logarithmus von e zur Basis e gleich 1, ist f'(x) tatsächlich e^x, wenn f(x)=e^x.

Herzliche Grüße,

Willy

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