Ist jede Wurzel, die nicht ganzzahlig ist, irrational?
Wenn man zum Beispiel √10 hat, sieht man, dass die 3² = 9 ist, und die 4² = 16. Dann ist √10 nicht ganzzahlig! Aber ist das dann sofort eine irrationale Zahl? Genau wie bei √34: 5² ist 25 und dann ist 6² schon 36. 34 liegt dazwischen.
Vielen Dank für jede helfende Antwort!
8 Antworten
Deine Vermutung ist in der Tat richtig.
Für jede natürliche Zahl n ist √n entweder wieder eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl. Man kann das mittels Zerlegung in Primfaktoren zeigen.
Nehmen wir dein Beispiel √34
Gäbe es eine rationale Zahl p/q mit
√34 = p/q, hierbei sollen p und q keine gemeinsamen Faktoren haben, sonst wird so lange gekürzt, bis das der Fall ist.
Dann muss auch sein:
34 = 2 * 17 = p²/q², oder
2 * 17 * q² = p²
Wegen den Zweierpotenzen von p und q kommen auf der linken Seite die Primfaktoren 2 und 17 in einer ungeraden Anzahl vor, rechts - wenn überhaupt - in einer geraden. Damit gibt es für diese Gleichung keine Lösung.
Wenn man das für den allgemeinen Fall durchexerziert kommt raus, dass wenn überhaupt, nur Lösungen möglich sind, wenn q=1, also die Wurzel eine natürliche Zahl ist, ansonsten ist das Ergebnis eben irrational.
Also es müssen zwei Fälle unterschieden werden:
1. sqrt(x) mit ganzzahligen, nicht negativen x. Dann ist die Wurzel tatsächlich genau dann irrational, wenn x keine Quadratzahl ist, also insbesondere kein Quadrat ganzer Zahlen.
2. sqrt(x) mit rationalen, nicht negativen x. Dann ist die Wurzel irrational wenn x kein Quadrat von rationalen Zahlen ist. sqrt(9/4) = 3/2 ist also rational.
Bei ganzzahligen Zahlen stimmt die Aussage. Die Kurzversion des Beweises ist: Beim Quadrieren wird die Anzahl aller Primfaktoren verdoppelt, beim Wurzelziehen halbiert. Es sind also nur die Wurzeln der ganzen Zahlen ganzzahlig, bei denen jeder Primfaktor in gerader Anzahl vorkommt, die anderen sind irrational.
Faustregel: Eine reelle Zahl (Integer oder Fließkomma) ist irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Also Zahlen, deren Nachkommastellen nicht abbrechen (also unendlich sind) und nicht periodisch sind, zb pi oder die Eulersche Zahl sind irrational.
Wenn du nur Wurzeln aus ganzen Zahlen betrachtest, ja.
Sonst natürlich nicht, denn jede rationale Zahl lässt sich
quadrieren, und die Wurzel aus dem Ergebnis ist
definitionsgemäß rational.