Ist jede endliche Gruppe zyklisch?

2 Antworten

Nein, nicht jede endliche Gruppe ist zyklisch. Als Beweis genügt es, eine nicht kommutative, endliche Gruppe zu finden, denn jede zyklische Gruppe ist kommutativ.

Etwa die symmetrische Gruppe S(3) := {f : {1,2,3} -> {1,2,3} | f ist eine Bijektion} (zusammen mit der Verknüpfung von Abbildungen als Gruppenoperation) beinhaltet 6 Elemente und ist nicht kommutativ.

Nein. Nicht jede endliche Gruppe ist zyklisch.

Z2 x Z4 z. B.

{(0,1), (0,2), (0,3), (0,0),

(1,1), (1,2), (1,3), (1,0)}

ist nicht zyklisch.

Die Elemente mit einer Komponente =0 kommen nicht in Frage, weil dort dann auch immer Null bleibt. Bleiben also die drei Elemente

(1,1), (1,2), (1,3)

(1,2) kommt nicht in Frage, weil dort in der zweiten Komponente nur 2 oder 0 stehen kann, aber nie 1 oder 3.

<(1,1)> = {(1,1), (0,2), (1,3), (0,0)}

<(1,3)> = {(1,3), (0,2), (1,1), (0,0)}

Beides ergibt nicht die volle Gruppe. Also: nicht zyklisch.

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