Ist folgendes Dreieck Rechtwinkelig?

8 Antworten

Ich möchte Dir dies nicht einfach sagen, sondern Dir aufzeigen, wie Du das herausfinden kannst.

Du hast die Punkte ja in einem Kartesischen Koordinatensystem gegeben, mit drei Achsen ({x}|0|0), (0|{y}|0) und Z(0|0|{z}), x,y,z∈ℝ, die sich im Ursprung O(0|0|0) schneiden.

Jedem Punkt X(x|y|z) ist der Vektor

(1.1)   |x› = (x ¦ y ¦ z)

zugeordnet, den man mit einer Verschiebung im Raum gleichsetzen kann. Das Zeichen '¦' soll hier einen Zeilenwechsel bedeuten, also eigentlich

  x
( y )
  z

mit der Klammer ganz drum (Tupel), aber das kann man hier schlecht so aufschreiben. Es gibt auch eine Zeilenversion des Vektors,

(1.2)    ‹x| = (x, y, z).

Ich hab' das so geschrieben, um das Skalarprodukt (den Begriff brauchen wir noch) des Vektors mit sich selbst als

(2)    ‹x|x› = (x, y, z) x     = x² + y² + z²
                              ( y )
                                z

schreiben zu können, als Matrixmultiplikation (hoffentlich bleibt das so schön untereinander).

Ihr habt vielleicht noch keine Matrizen gehabt, hatten wir auch nicht in der Schule, aber die Bewegung beim Multiplizieren ist eingängig: Mit der linken Hand von links nach rechts und gleichzeitig mit der rechten von oben nach unten. Die Komponenten, auf die die Finger zeigen, werden miteinander multipliziert und als Summanden hingeschrieben.

Die Seiten des Dreiecks lassen sich als Vektoren darstellen, die sich als Differenzen der Ortsvektoren darstellen lassen, also

(3.1)  |AB› = |b› – |a› = (-8 ¦ 14 ¦ 8) – (2 ¦ -6 ¦ -12) = (-10 ¦ 20 ¦ 20)
(3.2)  |BC› = |c› – |b› = (-1 ¦ 9 ¦ 12) – (-8 ¦ 14 ¦ 8) = (7 ¦ -5 ¦ 4)
(3.3)  |CA› = |a› – |c› = (2 ¦ -6 ¦ -12) – (-1 ¦ 9 ¦ 12) = (3 ¦ -15 ¦ -24)

Dabei musst Du ausfassen, dass Du Dich nicht verrechnest, es gibt so manche Fehlerquelle!

Sollte nun das Skalarprodukt zweier dieser Vektoren gleich Null sein, so ist zwischen diesen Vektoren ein rechter Winkel. Es gibt drei Möglichkeiten, sie zu kombinieren:

(4.1)  ‹AB|BC› = -70–100+80 = -90
(4.2)  ‹BC|CA› =  21+75–96 = 0    (da, bei C sitzt also der rechte Winkel)
(4.3)  ‹CA|AB› = -30–300–480 = -810

Die anderen Skalarprodukte sind negativ, weil die Winkel spitz sind. Wenn man die Idee hat, gerade dann müsste das Skalarprodukt positiv sein, aber das ist dann der Fall, wenn die Vektoren vom selben Punkt ausgehen, also z.B.

(5)  ‹AC|AB› = -‹CA|AB› = +810.

Die Längen der Seiten lassen sich übrigens durch die Skalarprodukte der Seitenvektoren mit sich selbst, aus denen man dann noch die Quadratwurzel ziehen kann.

Du hast auf eine Antwort geschrieben, du hättest bereits jeweils das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren berechnet, aber nicht 0 erhalten. Dann hast du dich entweder verrechnet oder nicht alle drei Möglichkeiten beachtet:

Wenn du rausbekommst, dass vec(AB)*vec(AC) ungleich 0 ist, muss das noch nicht bedeuten, dass das Dreieck nicht rechtwinklig ist. Das bedeutet dann nur, dass es nicht rechtwinklig bei A ist. Es könnte aber noch rechtwinklig bei B oder bei C sein.

Ergebnis: Das Dreieck ist rechtwinklig bei C.

Ich habe dir mal zwei verschiedene Lösungswege angehängt.

Skalarprodukt - (Schule, Mathematik) Pythagoras - (Schule, Mathematik)

Hallo,

rechne mal (C-A)·(C-B).

Wenn Du da nicht Null herausbekommst, weißt Du nicht, wie man mit Vektoren rechnet.

Herzliche Grüße,

Willy

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