Ist es möglich ein rechtwinkliges dreieck nur anhand höhe und hypotenuse auszurechnen?

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6 Antworten

Man kann jedes rechtwinklige Dreieck mit nur 2 Stücken ausrechnen.

Unter Einbeziehung der Hypotenusenabschnitte gilt 
q = c + p

Der Höhensatz besagt:  h² = p * q
                                       h² = p(c - p)
                      
         eingesetzt:             p (78 - p) = 36²

Das ergibt zwar eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen, aber es ist lösbar, wie du siehst.

Da h und jeder Hypotenusenabschnitt wiederum Bestndteile der rechtwinkligen Teildreiecke sind, sind die Katheten leicht zu errechnen, wenn man nicht ohnehin die Kathetensätze zur Hand hat.

a² = cp
b² = cq

Euklid lässt grüßen. Auch er war ein großer Meister.
Der Höhensatz ist ja auch von ihm.

jetzt könnte man allso Die Lösungsformel der Nullstellen anwenden?

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@ReviloCompany

Genau!
Ich würde das p dann zeitweise in x umbenennen, damit du nicht in Schwierigkeiten kommst.

Die Logik der Aufgabe bringt es mit sich, dass du den anderen Hypotenusenabschnitt sofort mitgeliefert bekommst, wie du schnell merkst, wenn du die beiden Ergebnisse vergleichst.

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@ReviloCompany

Nein. Gleichung wird zu:

x (78 - x) = 36²
78x - x² - 1296 = 0  | Ordnen und *(-1)
x² - 78x + 1296 = 0                                 p = -78     q = 1296

x = {24; 54}

Damit p = 24     und   q = 54

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Ein Dreieck ist durch drei unabhängige Variablen definiert. Hier hast du die Höhe, Hypotenuse und ein Winkel (90°). Also lässt sich der Rest ausrechnen. Auch reichen würden z.B. die drei Seitenlängen, aber nicht die drei Winkel (weil diese  nicht unabhängig sind).

Im Prinzip ja - aber mit folgender Einschränkung:  Es lassen sich zwar z.B. die Längen der beiden Katheten berechnen, aber man kann diese dann mit a und b  oder aber umgekehrt mit b und a bezeichnen. Analoges gilt natürlich für die Winkel alpha und beta.

und wie macht man das ?

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@ReviloCompany

Da kann man zum Beispiel von den Gleichungen  a^2+b^2 = c^2  und a*b/2 = h*c/2  ausgehen.

(Erste Gleichung Pythagoras, zweite Gleichung zwei Darstellungen für den Flächeninhalt)

Damit kommt man zu einem Gleichungssystem für a und b, das auf eine quadratische Gleichung z.B. für a  führt.

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Hallo,

durch den Höhenfußpunkt wird die Hypotenuse in die beiden Abschnitte p und q aufgeteilt.

Nach dem Höhensatz des Euklid giltin jedem rechtwinkligen Dreieck:

h²=p*q

Da die Hypotenuse und die Höhe gegeben sind (der rechte Winkel natürlich auch), kannst Du folgendes Gleichungssystem aufstellen:

p+q=78, also p=78-q

und: p*q=36², also (78-q)*q=36² oder 78q-q²=36²

Das führt zu der quadratischen Gleichung q²-78q+1296=0 und somit zu den beiden Lösungen q=54, p=24 oder umgekehrt.

Nun kannst Du nach dem Satz des Pythagoras die beiden Seiten a und b berechnen:

a=Wurzel aus (p²+h²) und b=Wurzel aus (q²+h²).

Herzliche Grüße,

Willy

WAS willst denn ausrechnen?
Fläche, Winkel, Seitenlängen,... geht alles ;-)

das verhältnis der Hypotenusenabschnitte

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Ja, das ist möglich!

Hilfreich dafür sind Höhensatz, Kathetensatz, Pythagoräischer Lehrsatz → diese findest du alle in deinem Mathebuch oder im Internet.

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