Ist ein Eigenwert auch ein Eigenwerte im Dualraum?

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Es geht um Aufgabe 10.1. (b)?

Jetzt habe ich es glaube ich; irgendwie ist der Dualraum schon eine knifflige Angelegenheit.

Erst mal ein Paar Definitionen, denn es kann ja sein, dass ich das alles irgendwie anders verstehe als Du.

Phi ist eine Abbildung von V nach V, wobei V ein VR über K ist.

Der Dualraum V* ist die Menge aller linearen Abbildungen von V nach K.

Aber was ist phi* - Offenbar irgendetwas, was mit dem Dualraum zu tun hat? Eigenwerte sind nur für Abbildungen definiert, also muss phi* eine Abbildung von V* nach V* sein.

Wenn (!!!!) die Abbildung phi* die "duale Abbildung" ist (???), also phi* von V* nach V* mit phi* (f)(X) = f kuller phi (mit einer Abbildung f von V* nach V* für Argumente X aus V, die von f dann nach K abgebildet werden) … also aus einer linearen Abbildung wird eine neue .... dann kann man weiter machen.

Da alpha Eigenwert von phi gilt:

phi(X) = alpha * X

zu zeigen: alpha ist Eigenwert von phi, also phi(f) (X)= alpha * f(X) .

Sei X aus V (Das Argument der Abbildung f)

phi*(f(X)) = f (phi(X)) = f ( alpha * X ) = alpha * f(X)

--- da f eine lineare Abbildung ist, war dieser Schritt zulässig

Und das war es.

Brauchst Du noch was vom Blatt 10?

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also wenn das angebot noch steht, dann brauchte ich was zu aufgabe 10.1 ;) irgendwie komm ich da auf kein ergebnis... viele dank

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@Molly23

ja brauche auch noch die c und die d, also zumindest vielleicht eine idee. weiß nämlich nicht, ob ich die aussagen widerlegen oder zeigen soll

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@Ahnungslos4

Hallo. 10.1 c+d sollten beide wahr sein.

(c) müsste sich aus Aufgabenteil (a) herleiten lassen; da steht ja schon phi^n. Die Faktoren davor kann man wegen der Linearität der Abbildung jeweils herausziehen. Wegen der Summen kann ich das hier allerdings nicht hier sinnvoll aufschreiben.

(d) überlege ich noch mal

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also die lösung oben, ist mir bis zu einem bestimmten Punkt klar, nämlich bis zu dem letzten schritt. also phi(f(X))... Kannst du ist damit phi stern gemeint und ist oben bei der sache mit wenn(!!!) am ende wo phi(f)(X) steht, phi stern gemeint? oder ist der stern ein mal? Danke für die Infos

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@Ahnungslos4

Du hast Recht, da ist mir etwas verrutscht.

Oben steht; phi*(f(X)) = f (phi(X)) = f ( alpha * X ) = alpha * f(X)

richtig ist Am Anfang: phi*(f)(X) - Hier ist der Stern ein Stern.

phi*(f)(X) = (f kuller phi)(X) - gemäß Definition der Dualen Abbildung.

(f kuller phi)(X) = f ( phi(X) ) gemäß Definiton von Kuller.

Und zusammen:

phi*(f)(X) = f (phi(X)) = f ( alpha * X ) = alpha * f(X)

Schöne Grüße.

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Hallo seickert, ich habe mich hier mal an der c versucht, hast recht ziemlich doof das einzugeben, dann habe ich es über word gemacht... hab es jetzt hier als bild reingestellt, vielleicht kannst du dir das mal anschauen. Also es kann sein, dass ich es völlig falsch gemacht habe, aber ich dachte ich versuch mich mal daran.

 - (Mathematik, Algebra, eigenwerte)

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