ist die zahl e irgendwie durch pi zu ersetzen?

8 Antworten

Definiere "ersetzen" genauer, denn beides sind irrationale Zahlen, die mit je über 100 Algorithmen berechnet werden können:

http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

§3d, zig unter 5. spezielle Funktionen wie

Pi=(BesselK(3/2,1)*e)²/2

Pi = 2/(BesselI(3/2,1)*e)²

Pi = (Dawson(1)*e*2/erfi(1))²

Pi=-log(-1)*i mit i = Wurzel(-1) und log zur Basis e

Pi=acos((1 + e^(log(5)/2))/4)*5

§6c

http://www.gerdlamprecht.de/Eulersche_Zahl_A001113.html

§1, §5, §6, enthalten Pi

Außerdem kann jede Potenz (a hoch b) in e hoch x gewandelt werden:

a^b = e^(ln(a) * b)

Einfache endliche Grundrechenarten reichen NICHT, um eine der beiden irrationalen Konstante in die andere umzuwandeln!

Hinweis zu 

e=10^(lg(cos(Pi/5)*4-1)*2/log(5))

ist extrem schwerer zu berechnen, als 

e = exp(1)

Merke: alle bekannten Berechnungen (Algorithmen) für Pi sind aus heutiger Sicht komplizierter (Computer brauchen länger) als

die für e.

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Wenn man die Eulersche Identität

e^(iπ) = -1

nach e auflöst, erhält man

e = (-1)^(-iπ)

Kein schöner Ausdruck. Maxima verarbeitet das gar nicht weiter. Aber Wolfram Alpha sagt einiges darüber.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5E%28-i+%2A+pi%29

Neben Reihen- und Integraldarstellungen ist dort sogar ein reeller Zahlenwert angegeben:


19333.689074...

Demnach wäre e, anders als wir alle gelernt haben, nicht gleich 2,718281828..., sondern 19333,689074...

Ich gestehe, daß ich dem nicht nicht so ganz traue... :-)

Du hast falsch umgestellt! siehe

http://www.gerdlamprecht.de/Eulersche_Zahl_A001113.html

§1:  e = exp(1) = e^1 = (-1)^(1/(pi*i))

dann kommt auch das richtige raus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-1)%5E(1%2F(pi*i))

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@hypergerd

Danke! Mein Vertrauen in die Algebra, in wolframalpha und in das peer review ist gestärkt, nur das in meine langjährige Übung hat einen Kratzer erlitten. Gut so, das verbessert die Bodenhaftung.:-)

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@hypergerd

An diesen Links muß man leider oft von Hand feilen, damit sie hier nicht kaputtgehen. Wenn das Forum den Link nicht zuende erkennt, versuche ich, durch Einsetzen der Prozentcodes für die btr. Zeichen zum Ziel zu kommen, sie stehen z.B. in der engl. Wikipedia unter "Percent-encoding"). Hier ist %5E für das Caret-Zeichen erforderlich.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5E%281%2F%28pi*i%29%29

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Meines Wissens sind das völlig unterschiedliche Zahlen und können nicht gegeneinander ersetzt werden...

LG

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