Ist die Verkettung von geradenspieglung kommutativ?

1 Antwort

Von Experten ralphdieter und Mathmaninoff bestätigt
ich habe dies für paralle geraden untersucht und hier gilt die kommutativität. da es sich bei einer verkettung von geradenspieglungen bei 2 parallen geraden um einer verschiebung handelt ( mit dem doppelten abstand der geraden ) also habe ich 𝑠𝑔 ∘ 𝑠ℎ = 𝑠ℎ ∘ 𝑠𝑔 durchgeführt und es kam in beiden fällen wie vermutet die verschiebung mit gleichen verschiebe vektor raus.

Das stimmt so nicht. Überprüfe deine Rechnung nochmal. Es stimmt, dass es sich in beiden Fällen um eine Verschiebung (mit doppeltem Abstand der Geraden) handelt. Aber die Verschiebung geht in unterschiedliche Richtungen. Wenn bei s[g] ∘ s[h] um einen Vektor v verschoben wird, so wird bei s[h] ∘ s[g] um den Vektor -v verschoben. Für zueinander parallele Geraden g und h gilt genau dann s[h] ∘ s[g] = s[h] ∘ s[g], wenn g = h ist.

aber bei 2 geraden die sich schneiden ( also eine drehung erzeugen ) bin ich überfragt. ich habe dies versucht mit geogegbra zu machen. und hier konnte ich tatsächtlich wieder die kommutativität vor finden. kann dies aber sein ?

Naja, wenn du das in GeoGebra richtig nachgestellt hast, solltest du eigentlich erkennen, dass die Verkettung zweier Spiegelungen in der Regel nicht kommutativ ist. (Wenn die Gerade nicht gerade identisch sind oder sich im rechten Winkel schneiden.)

Wenn s[g] ∘ s[h] eine Drehung mit einem Winkel φ um den Schnittpunkt ist, so ist s[h] ∘ s[g] eine Drehung mit Winkel -φ um den Schnittpunkt. Wenn also in dem einen Fall mit Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird, wird im anderen Fall mit Winkel φ im Uhrzeigersinn gedreht. [Damit man in beiden Fällen den gleichen Bildpunkt erhält, muss der Drehwinkel also ein Vielfaches von 180° (also ..., -360°, -180°, 0°, 180°, 360°, ...) sein. Dementsprechend muss dann der Schnittwinkel der Geraden ein Vielfaches von 90° sein, was genau dann der Fall ist, wenn die Geraden identisch sind oder sich im rechten Winkel schneiden.]

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Spiegelungen sind übrigens selbstinvers. Dementsprechend muss dann wegen...



... s[g] ∘ s[h] invers zu s[h] ∘ s[g] sein.

Wenn nun gleichzeitig s[g] ∘ s[h] = s[h] ∘ s[g] sein soll, muss also s[g] ∘ s[h] bzw. s[h] ∘ s[g] wiederum selbstinvers sein.

Die Verkettung zweier Spiegelungen ist eine Verschiebung (wenn die Geraden parallel sind) oder eine Drehung (wenn die Geraden sich schneiden). Die einzige selbstinverse Verschiebung, ist die Verschiebung um den Nullvektor (wofür die entsprechenden Geraden den Abstand 0 haben müssen, also identisch sein müssen). Die einzigen selbstinversen Drehungen sind die Drehungen um Vielfache von 180° (wofür die entsprechenden Geraden einen Schnittwinkel aufweisen müssen, der ein Vielfaches von 90° beträgt, sodass die Geraden also identisch sein müssen oder sich im rechten Winkel schneiden müssen).

vielen dank ehrlich das mir super geholfen, dennoch habe ich immer noch nicht ganz verstadnen wieso sie sich zwigend im 90 grad winkel treffen müssen damit sie kommutativ sind könntest mir bitte das noch erklären ?

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@Xy069
„Damit man in beiden Fällen den gleichen Bildpunkt erhält, muss der Drehwinkel also ein Vielfaches von 180° (also ..., -360°, -180°, 0°, 180°, 360°, ...) sein. Dementsprechend muss dann der Schnittwinkel der Geraden ein Vielfaches von 90° sein, was genau dann der Fall ist, wenn die Geraden identisch sind oder sich im rechten Winkel schneiden.“

Wann erhält man bei einer Drehung mit Winkel φ und bei einer Drehung mit Winkel -φ (um das gleiche Drehzentrum) die gleichen Bildpunkte? Das ist genau dann der Fall wenn die Winkel φ und -φ bis auf Addition eines Vielfachen von 360° (da 360° ein Vollwinkel ist, und man bei Drehung um einen Vollwinkel wieder den gleichen Punkt erhält) den gleichen Winkel ergeben. Dementsprechend muss

φ = -φ + k ⋅ 360° mit einer ganzen Zahl k

sein. Aufgelöst nach φ führt das dann zu

φ = k ⋅ 180° mit einer ganzen Zahl k.

Es muss also φ ∈ {..., -360°, -180°, 0°, 180°, 360°, ...} sein. Da der Drehwinkel φ das doppelte des Schnittwinkels der beiden Geraden ist, muss der Schnittwinkel der beiden Geraden die Hälfte des Drehwinkels betragen, also in {..., -180°, -90°, 0°, 90°, 180°, ...} liegen.

Bei einem Schnittwinkel von {..., -270°, -90°, 90°, -270°, ...} schneiden sich die Geraden im rechten Winkel. Bei einem Schnittwinkel von {..., -180°, 0°, 180°, ...} sind die Geraden identisch.

Demnach müssen die Geraden sich also in einem rechten Winkel schneiden, oder identisch zueinander sein.

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Alternativ kannst du auch meinen anderen Erklärungsansatz verfolgen, falls der einfacher für dich ist...

[...]
Wenn nun gleichzeitig s[g] ∘ s[h] = s[h] ∘ s[g] sein soll, muss also s[g] ∘ s[h] bzw. s[h] ∘ s[g] wiederum selbstinvers sein.
[...]
Die einzigen selbstinversen Drehungen sind die Drehungen um Vielfache von 180° (wofür die entsprechenden Geraden einen Schnittwinkel aufweisen müssen, der ein Vielfaches von 90° beträgt, sodass die Geraden also identisch sein müssen oder sich im rechten Winkel schneiden müssen).
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@Xy069
wieso sie sich zwigend im 90 grad winkel treffen müssen damit sie kommutativ sind könntest mir bitte das noch erklären ?

Das habe ich so übrigens nicht geschrieben. Sie müssen sich nicht zwingend im 90°-Winkel treffen. Die Geraden können stattdessen auch identisch zueinander sein.

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