Ist die Relation antisymmetrisch?

 - (Mathematik, Mathematiker)

1 Antwort

Nein, die Relation muss nicht unbedingt antisymmetrisch sein.

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Betrachte beispielsweise die durch...

aRb ⇔ (a,b) ∈ {(0,0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}

... auf A = {0, 1} gegebene Relation R. D.h. betrachte die Relation, die für alle a, b ∈ A wahr ist.

Die Relation R erfüllt die geforderten Voraussetzungen.

Die Relation R ist jedoch nicht antisymmetrisch. Denn es ist 0R1 und 1R0, aber 0 ≠ 1.

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Man kann zeigen, dass eine entsprechende Relation immer symmetrisch und transitiv ist.

Für die Symmetrie solltest du den Fall c = a bei (aRb∧aRc)⇒bRc betrachten.

Für den Beweis der Transitivität kann man die Symmetrie aRb = bRa bei (aRb∧aRc)⇒bRc nutzen.

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