Ist die Relation antisymmetrisch?
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Mathematik
Nein, die Relation muss nicht unbedingt antisymmetrisch sein.
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Betrachte beispielsweise die durch...
aRb ⇔ (a,b) ∈ {(0,0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
... auf A = {0, 1} gegebene Relation R. D.h. betrachte die Relation, die für alle a, b ∈ A wahr ist.
Die Relation R erfüllt die geforderten Voraussetzungen.
Die Relation R ist jedoch nicht antisymmetrisch. Denn es ist 0R1 und 1R0, aber 0 ≠ 1.
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Man kann zeigen, dass eine entsprechende Relation immer symmetrisch und transitiv ist.
Für die Symmetrie solltest du den Fall c = a bei (aRb∧aRc)⇒bRc betrachten.
Für den Beweis der Transitivität kann man die Symmetrie aRb = bRa bei (aRb∧aRc)⇒bRc nutzen.
