Ist die nullstelle (2.83|0)?

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5 Antworten

Nein - das kannst Du auch einfach selbst herausfinden, indem du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt und guckst, ob eine wahre Aussage entsteht.

Ein Punkt hat die Form (x | y) bzw. (x | f(x)), beim Punkt (2,83 | 0) ist also x = 2,83 und f(x) = 0. Das setzen wir ein:

f(x) = 1/4 x⁴ - 2x² + 2

0 = 1/4⋅(2,83)⁴ - 2⋅(2,83)² + 2

Ab in den Taschenrechner mit dem rechten Term und du erhältst:

0 = 2 (ca.)

Das ist ein Widerspruch und dementsprechend ist (2,83 | 0) keine Nullstelle (und liegt auch nicht auf dem Graphen).

Um die Nullstellen zu berechnen, solltest Du hier substituieren, da f eine biquadratische Gleichung ist.

Für u := x² erhältst Du:

f(x) = 1/4 u² - 2u + 2

u = 4 - 2√2 1,1716  u = 4 + 2√2 6,8284

Daraus nun noch die Wurzel gezogen und du erhältst folgende Lösung:

x = ±√(4 ± 2√2)

... also folgende vier Lösungen:

x = -√(4 - 2√2) ≈ -1,0824
x = √(4 - 2√2) ≈ 1,0824
x = -√(4 + 2√2) ≈ -2,6131
x = √(4 + 2√2) ≈ 2,6131

LG Willibergi

Wollen wir mal nachsehen?
Auf jeden Fall werden es bis zu vier Lösungen sein können. (Sind es auch, wie ich beim Plotter sehen konnte.)

Eine solche Gleichung 4. Grades wird mit Substitution gelöst.
Ich setze x² = z. Das bedeutet für die spätere Resubstitution  x = ±√z

Aber substituieren wir erst mal:
1/4 x⁴ - 2x² + 2 = 0        |  x² = z
1/4 z² - 2z  + 2 = 0        | *4           normieren 
      z² - 8z + 8  = 0                        p = - 8       q = 8

z₁₂ = 4 ± √(16 - 8)         Ich spare mir die Wurzelrechnung und löse auf,
                                   denn sonst bekomme ich √(√...
z₁₂ = 4 ± √8
z₁  = 6,828
z₂  = 1,172

Aus beiden ziehe ich die Wurzeln (Resubstitution):
x₁ =  2,61
x₂ = -2,61
x₃ =  1,08
x₄ = -1,08

Die Wurzeln sind bis auf die erste Kommastelle genau. Das reicht bei zweimal Wurzelziehen.

Deine Lösung ist leider nicht dabei.

Wenn du nur dein Ergebnis auf Richtigkeit prüfen willst, warum machst du nicht einfach selbst die Probe?
Setzt dein Ergebnis ein für x in den Funktionsterm und schau, ob 0 rauskommt.
Das ist doch ein viel einfacherer und sicherer Weg ;-)

So eine Funktion 4. Grades hat übrigens 4 Nullstellen und nicht nur 1.

Ansatz:

0=1/4 x^4 -2x^2 +2

Es gibt bis zu 4 Lösungen, da x bis zur 4. Potenz drin steht.

Substitution a= x^2

0=1/4 a^2 -2a+2. |*4

0 = a^2 -8a +8

Pq Formel:

a1,a2 =4 +- Wurzel(16-8)

a1 = 6,828

a2 = 1,171

Resubstitution:

x1 =Wurzel(a1)= 2,613

x2=-Wurzel(a1)=-2,613

x3= Wurzel(a2)= 1,082

x4=-Wurzel(a2)= -1,082

Nein.

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