ist die cardanische formel so geil wie die pq formel?

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3 Antworten

Polynomdivision funktioniert ja nur, wenn bereits eine Nullstelle bekannt ist!

Bei quadratischen Gleichungen der Form ax²+bx+c=0 brauchst Du lediglich durch a zu teilen; dann kannst Du die pq-Formel anwenden.

Bei ax³+bx²+cx+d=0 musst Du erst einmal durch a teilen; dann substituieren (x=z-b/(3a)), um das x² loszuwerden: Du erhältst z³+pz+q=0. Erst jetzt kannst Du die cardanische Formel anwenden, wobei auch mit komplexen Zahlen zu hantieren ist.

Würde selbst eher ein Näherungsverfahren anwenden (wenn keine Lösung zu erraten ist).

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Die Formeln von Cardano sind noch voller Fallunterscheidungen.

Erst die PQRST-Formel ist identisch zur pq-Formel: einsetzen fertig.

Der Rechner unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet bei Polynomen Grad 3 beide Wege mit Zwischenergebnissen vor.

Nachteil: es gibt komplexe Zwischenergebnisse, die Billig-Taschenrechner nicht können.

Für Grad 4 gibt es die PQRSTUVW-Formel,

und erst ab Grad 5 gibt es nur noch wenig Spezialfälle, die ohne numerischer Berechnung auskommen.

Für die Schule denken sich Lehrer nur einfache Aufgaben aus, wo man mit Probieren der ersten 4 ganzen Zahlen später auch ja die Polynomdivision anwenden kann.

Vorteil der 3 expliziten Formeln PQ, PQRST, PQRSTUVW:

- sie funktionieren auch mit komplexen Faktoren (Beispiel 21, 22)

- man bekommt immer n Ergebnisse (höchste Potenz, also bei pq ist n=2 weil x²; usw.)

- man kann leicht erkennen, ob Ergebnis irrational ist, da Wurzeln erhalten bleiben (bei Näherungsverfahren sieht man nicht, ob irrational)

Solange Du aber noch keine komplexen Zahlen hattest, brauchst Du mit diesen Formeln nicht versuchen was herauszubekommen.

P.S.: einige Taschenrechner haben den Befehl "Solve" -> der benutzt aber nur Näherungsverfahren und zeigt selten über 7 richtige Nachkommastellen an.

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Quadratische Gleichungen mache ich mit
quadratischer Ergänzung, weil ich mir
die pq-Formel nicht merken kann :-)

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