Ist der Energieverbrauch bei der Beschleunigung von der Wahl des Bezugssystems abhängig?

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6 Antworten

Genau diese Frage habe ich mir auch schon mal gestellt. Dann kam ich auf den Trichter, dass die Differenz an kinetischer Energie und der Energieaufwand bei der Beschleunigung zwei Paar Schuhe sind. Letzterer hängt natürlich nicht vom Bezugssystem ab, wohl aber, wie sich die
Energie verteilt.

Stell Dir vor, Du beschleunigst mittels Rückstoß, wie eben bei einer Rakete, aber mit einzelnen Schüssen nach hinten, einer Art umgekehrten unelastischen Stoß. Ein Projektil habe die Masse m und das Vehikel - vor dem Schuss - die Masse M = a⋅m mit a ≫ 1.

Die Geschwindigkeit des Projektils relativ zum gemeinsamen Schwerpunkt mit dem abschießenden Geschütz sei ∆u, und ihr Betrag klein genug, um Newtonsch rechnen und Geschwindigkeiten einfach vektoriell addieren zu können.

So ergeben sich die Geschwindigkeiten unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit v des Vehikels aus dem Impulserhaltungssatz

∑∆p = 0 = m∆u + (M–m)∆v = m{∆u + (a–1)v}

zu

v = – ∆u/(a–1).

Im Schwerpunktssystem (v = 0) betrachtet teilen sich die kinetischen Energien des Projektils Tp und des Vehikels Tv so auf:

Tp = m/2(∆u)²; Tv = (a–1)m/2(∆u)²/(a–1)² = m/2(∆u)²/(a–1).

Der größte Teil der Energie geht also ins Projektil. Der Gesamtenergieaufwand ist natürlich die Summe

Tp + Tv = m/2(∆u)² (1+1/(a–1)) = m/2⋅(∆u)²⋅(a/(a–1)).

In einem anderen System, in dem v = –∆u ist, hat das Projektil nach dem Schuss die Geschwindigkeit 0 und damit auch die kinetische Energie 0. Die Endgeschwindigkeit des Vehikels ist hingegen

v + ∆v = – ∆u – ∆u/(a–1) = – ∆u(1+1/(a–1)) = – ∆u(a/(a–1)).

Die kinetische Energie des gesamten Systems ist in diesem System vor dem Schuss

M/2⋅v²= a⋅m/2⋅(∆u)²,

die des Vehikels nach dem Schuss ist

(a–1)m/2⋅(∆u)²⋅a²/(a–1)² = m/2⋅(∆u)²⋅a²/(a–1)

und die Differenz

m/2⋅(∆u)²⋅a²/(a–1) – a⋅m/2⋅(∆u)² = a⋅m/2⋅(∆u)² {a/(a–1) –1}

= a⋅m/2⋅(∆u)²{1/(a–1)}

und damit identisch zur Summe der Energien oben.

Der Unterschied liegt darin, dass die Energie in diesem System gerechnet ins Vehikel geht, während dem Projektil Energie entzogen wird. Genau umgekehrt verhält es sich in einem System, das sich relativ zum Schwerpunktssystem in die entgegengesetzte Richtung bewegt, dort wird das Vehikel durch den Rückstoß ja abgebremst.

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Die Energie eines Körpers ist in der Tat bezugssystemabhängig, die zugeführte Energie zum Beschleunigen aber nicht. Um das zu berechnen, musst du allerdings genau in Rechnung stellen, aus welchem Körper der Impuls zugeführt wird.

Szenario 1: Die Rakete beschleunigt von 0 auf 10.

Da die Rakete beschleunigt , muss der Impuls p energiemäßig "hochgepumpt" werden, und zwar im Mittel von 0 auf v/2, also im Mittel um 5 m/s. Die erforderliche Energiemenge ist also

E = p * v/2 = 1/2 * m * v^2.

Szeranio2: Die Rakete beschleunigt von 10 auf 20. Der Impuls p muss wieder energiemäßig "hochgepumpt" werden, und zwar von 10 auf im Mittel 15 (Die mittlere Geschwindigkeit zwischen 10 und 20 ist 15), also wieder um mit Mittel 5m/s. Die erforderliche Energiemenge ist also gleich 

Wo steckt dein Gedankenfehler? Mit der Formel E = 1/2 * m * v^2 kannst du nur dann rechnen, wenn der Impuls von 0 hochgepumpt wird. Beispiel: Wenn deine Rakete von 10 auf 20 beschleunigen soll, und der Impuls aus einem Laser im ruhenden Bezugssystem stammt, dann wird er im Mittel von 0 auf 15 hochgepumpt, und du hast in der Tat die größere Energiemenge aus deinem zweiten Beispiel. Stammt der Impuls aber aus der Rakete selbst, dann ist das richtig, was ich in Szenario 2 gerechnet habe, und dann ist auch die zufgeührte Enerige von der Wahl des Bezugssystems unabhängig.

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Die kinetische Energie entspricht der Arbeit, um ein Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen. Wobei "Ruhe" aus Sicht des Asteroiden, des Kometen und des Raumschiffs etwas anderes ist. Für den Energieverbrauch beim Beschleunigen ist das Bezugssystem des Raumschiffs maßgeblich, da es ja aus "seiner" Ruhe heraus beschleunigt wurde.

Da die Geschwindigkeit aus Sicht der Himmelskörper jeweils eine andere ist, ist auch die ermittelte kinetische Energie aus deren Sicht jeweils eine andere. Klingt gewöhnungsbedürftig, ab im Gedankenexperiment kann man ja mal das Raumschiff auf den Himmelskörper abstürzen lassen. Da wird bei 20 m/s Geschwindigkeitsunterschied viermal so viel Energie freigesetzt als bei 10 m/s Unterschied - was der Raumschiff-Tacho dabei gerade angezeigt hat, ist unerheblich. Die kinetische Energie ist eben relativ und in Deinen Berechnungen gehst Du davon aus, dass sie absolut wäre.

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Impulserhaltung vergessen.

Du kannst eine Masse nicht in eine Richtung beschleunigen,...

...ohne nicht auch zugleich eine andere Masse in die Gegenrichtung zu beschleunigen, damit Impulserhaltung gilt.
Du musst auch dafür Energie aufbringen und in deine Gesamtkalkulation mit einbeziehen.

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Kommentar von Fridtjorov
09.04.2016, 00:18

Du hast natürlich recht, das Raumschiff wird um ein paar Gramm Treibstoff leichter, die mit hoher Geschwindigkeit, und dem entsprechenden Impuls, aus der Düse in die entgegengesetze Richtung sausen... das löst mein Verständnisproblem aber nicht. Trotzdem danke für die Antwort

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Kommentar von Fridtjorov
09.04.2016, 00:23

Sorry, ich glaube, so langsam verstehe ich, warum der Impuls doch wichtig ist. Danke für die Antwort.

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Die Beschleunigungsenergie ist absolut, die Geschwindigkeit ist relativ. Die durch die Beschleunigung erzielte (vektorielle) Geschwindigkeitsdifferenz zu jedem beliebigen Bezugssystem ist die gleiche. Beispiel:

Wenn ich mich in einem fahrenden Bus z.B. nach vorne beschleunige, ist die Geschwindigkeitsdifferenz (vor zu nach Beschleunigung) gegenüber jedem Bezugspunkt die gleiche, ob Bus-Fahrersitz, Straßenbaum, Ameise, Radfahrer oder Regenwolke.

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Lieber Leinad, egal ob du mit den Gesetzen von Newton oder Einstein rechnest, du bekommst immer sofort das wahre Ergebnis wenn du so tust, als ob du alles auf die Hintergrundstrahlung als Ruhesystem beziehst.

Du hast diese Frage doch schon so oft gestellt. Und manches mal wurde sie auch konkret vorgerechnet.   

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Kommentar von Fridtjorov
12.04.2016, 18:11

Hallo DieterSchade, weder kenne ich einen Leinad, noch habe ich diese Frage schon einmal gestellt. Ich habe vor dem Stellen der Frage nach einer Ähnlichen gesucht, aber keine gefunden. Wenn ich nicht gründlich genug gesucht habe und diese oder eine ähnliche Frage hier schon gestellt und zufriedenstellend beantwortet wurde, dann entschuldige bitte. Ich habe die Antworten zumindest verstanden. Wenn ich jemals einem Leinad begegnen sollte, werde ich ihm das erklären...

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