Ist das ein physikalischer Widerspruch (Newton)?

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Schöne Frage, diese Paradoxie lässt sich aber natürlich auflösen. Die kinetische Energie ist in der Tat bezugssystemabhängig, allerdings kommt es ja hier darauf an, wie viel Energie man zum Beschleunigen braucht. Aus der allgemein gültigen Gleichung dE = v * dp oder auch dE = v * F sieht man, dass man zum Berechnen Geschwindigkeit v UND den Impuls p beachten muss, vor allem muss man auch beachten, von wo der Impuls herkommt. Beachtet man dies, dann ist alles im Reinen.

Wir nehmen ein Auto, welches von v=100 auf v=200 beschleunigt wird. Das Bezugssystem ist der ruhende Boden mit v = 0. Das Auto bekommt beim Beschleunigen eine Impulsmenge von p = m * (200-100) = m * 100. (Masse ist egal). Dieser Impuls stammt aber aus dem Boden mit v = 0 und kommt durch die Reifen in das Auto (dies ist dann die Kraft der Straße auf das Auto, die Beschleunigungskraft). Der Impuls wird also "hochgepumpt", und zwar von 0 auf im Durchschnitt 150 (Mitte zwischen 100 und 200), mit anderen Worten, man hat also eine Energiezufuhr von

dE = (200-100) * m * (150-0) = m * 100 * 150 = 15000 * m.

Die Berechnungen mit der Differenz der kinetischen Energien ist hier richtig (Weil das Bezugssystem gleich ist, nämlich 1/2 * m * 200^2 - 1/2 * m * 100^2 = 1/2 * m * 30000 = 15000 * m.

So, nun wechseln wir das Bezugssystem in das mit v = 100 fahrende Auto.

Das Auto beschleunigt von 0 auf 100 (im neuen Bezugssystem), wird also auch 100 m/s schneller. Der Impuls wird nun hochgepumpt, und zwar vom Boden ins Auto mit durchschnittlich 50 m/s. So, nun aufgepasst! Der Boden hat aber nicht die Geschwindigkeit 0, sondern - 100, also beträgt die "Pumphöhe" auch hier (50 - (-100)) = 150 m/s, also gilt auch hier

dE = 100 * m * (50 - (-100)) = 100 * m * 150 = 15000 * m

Man sieht, wenn man alles korrekt beachtet und nicht mit einer sehr eingeschränkten Formel 1/2 * m * v^2 rechnet, passt auch alles, selbst bei Bezugssystemwechsel.

In der Physik heißt es doch: Wenn man eine Aussage über die Geschwindigkeit eines Körpers machen will, braucht man einen Bezugspunkt.

Ja, den braucht man auf jeden Fall.

Solche Größen wie Geschwindigkeit und erst recht Position sind ihrem Wesen nach relativ. Auf die Frage, wie viele Flaschen in einem vollen Bierkasten sind, ist die Antwort „20“, also eine einfache Zahl, schon eine vollständige Antwort. Die Anzahl der Flaschen ist also eine absolute Größe.

Wenn ich aber frage, wo der Kasten ist, nimmt eine Antwort immer Bezug auf irgendein Objekt, eine Stelle in einem Gebäude, einen Kühlschrank oder gar den Kofferraum eines Autos, das auch noch relativ zur Erde bewegt werden kann.

Alternativ dazu verwendet man ein Koordinatensystem, dessen Ursprung O dann ein Bezugspunkt ist.

Relativitätsprinzip

Du möchtest aber auf Galileis Relativitätsprinzip (RP) hinaus.

Nehmen wir einen relativ zu O mit der konstanten Geschwindigkeit |v› (Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung, und auch die muss konstant sein) bewegten Punkt O′.

Das RP beagt nun, dass man O′ als stationär und O als mit –|v› bewegt ansehen kann, und zwar mit demselben Recht.

Relativ zu O und O′ haben nämlich einige physikalische Größen zwar unterschiedliche Werte, aber die grundlegenden Beziehungen zwischen ihnen (nichts anderes sind Naturgesetze) sind dieselben.

Dass zu diesen Naturgesetzen auch die der Elektrodynamik und die elektromagnetische Wellengleichung zählen, führt straightforward zur Speziellen Relativitätstheorie (SRT).

Die, wie ich sie gern nenne, altklassischen Formeln sind als Grenzfall in der Relativitätstheorie enthalten, der sogenannte Newton-Limes, in dem wir uns hier erst mal bewegen.

Wo der Schuh drückt

Doch wenn man die kinetische Energie, die ja nach

E = ½mv²

abhängig von der Geschwindigkeit ist, hinzudenkt, dann müsste sie doch auch abhängig vom Beobachter sein, was aber keinen Sinn ergibt.

Das ist eine kluge Frage, die ich mir auch schon gestellt habe.

Dass die kinetische Energie E[kin] (Dein E) selbst vom Bezugssystem (also der Frage, ob etwa O oder O′ als ruhend gilt) abhängig ist, braucht natürlich nicht überraschen.

Außerdem könnte man hypothetisch annehmen, man hätte ein Wundergerät welches die kinetische Energie eines Körpers misst.

Nein, das Relativitätsprinzip ist ein übergeordnetes Prinzip ähnlich dem Energieerhaltungssatz, deshalb kann es kein Gerät geben, das „die“ kinetische Energie messen kann.

Das gilt ja auch schon für die potentielle Energie E[pot] eines Feldes. Diese als solche ist abhängig davon, wo man das Nullniveau hinlegt.

Physikalisch relevant ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Orten. Diese ist unabhängig von der Definition des Nullniveaus.

Das entscheidende Denkproblem besteht darin, dass die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und kinetischer Energie nicht linear ist.

Würde der Zug nämlich relativ vom Beobachter von 150 auf 300 km/h beschleunigen, so bräuchte es viel mehr Energie als von 0 km/h auf 150 km/h zu beschleunigen,…

Das Zug-Beispiel ist nicht das beste, weil hier die Erde als spezielles Bezugssystem fungiert. Schlielich erfolgt die Beschleunigung durch die Bewegung der Räder, also Kraftübertragung auf die mit der Erde verbundenen Schienen.

Im freien Weltraum hingegen gibt es kein spezielles Bezugssystem; um einen Körper der Masse M um |Δv› zu beschleunigen, muss man in dem Koordinatensystem S[0], in dem er zuvor ruhte, die Energie

(1)    ΔE[0] = E[kin,S[0]] = ½·M·‹Δv|Δv› = ½·M·Δv²

auf ihn übertragen, wobei Δv die Komponente von |Δv› in Beschleunigungsrichtung und damit der Betrag ist.

Ebenso kann man allerdings ein Bezugssystem S[|w›] als Referenzsystem verwenden, in dem sich der Körper vorher mit der Geschwindigkeit

|w› = |v› + |u›

bewegt hatte. Dabei ist |v› parallel, |u› senkrecht zu |Δv›. Dann ändert sich in diesem Koordinatensystem die kinetische Energie des Körpers von

(2.1)  ½·M·w²  =  ½·M·[v² + u²],

zu

(2.2)  ½·M·[(v+Δv)² + u²]  =  ½·M·[v² + 2vΔv + Δv² + u²],

also um die Beschleunigungsarbeit

(2.3)  ΔE[|w›] = ½·M·[2vΔv + Δv²];

wie wir sehen, spielt |u› für die Energieänderung im Newton-Limes keine Rolle.

Dabei ist v die zu |Δv› parallele Komponente von |w› und kann negativ sein. Es gibt nämlich Koordinatensysteme, in denen |v› und |Δv› entgegengesetzt sind, sodass die Beschleunigung eine Abbremsung hinausläuft und der Ausdruck negativ sein kann - in einem solchen Koordinatensystem wird dem Körper Energie entzogen!

Auflösung

Wie ich schon sagte, darf der Körper nicht isoliert betrachtet werden, sondern man muss bedenken, dass dabei ein Impuls |p› auf ihn übertragen wird und er dabei den Impuls –|p› auf etwas anderes überträgt.

Beim Auto oder Zug ist das die Erde, die diesen Impuls dank ihrer enormen Masse „schluckt“, ohne dabei viel kinetische Energie aufzunehmen. Im freien Weltraum - weitab von schweren Himmelskörpern - lässt sich das nur durch Rückstoß bewirken.

Viele User argumentieren hier mit der Kraft. Ich will einen anderen Weg gehen. Wir stellen uns vor, dass dieser Rückstoß auf einen Körper ausgeübt  wird, einen Körper der Masse m - wie bei einem Schuss. Da würde ja jeder erwarten, dass die wesentliche kinetische Energie auf das Geschoss übertragen werden soll.

In S[0] hat dieser andere Körper nach dem Stoß den Impuls

(3.1)  –|p› = –M·|Δv›

somit die Geschwindigkeit

(3.2)  –(M/m)·|Δv›

und damit die kinetische Energie

(4.1)  ½·m·(M/m)²·Δv² = ½·M²/m·Δv²,

sodass die insgesamt frei werdende Energie

(4.2)  ½·M²/m·Δv² + ½·M·Δv² = ½·M·Δv²·(M/m + 1)

beträgt. Da |u› keine Rolle spielt, können wir annehmen, diese sei 0, und so sei |w›=|v›. In S[|v›] ändert sich die Energie des Körpers der Masse m um

(5)  ½·m·(v – (M/m)·Δv)² – ½·m·v²
      =  ½·m·(v² – 2v(M/m)Δv + M²/m²·Δv²) – ½·m·v²      =  –M·v·Δv + ½·M²/m·Δv²,

was zu (2.3) addiert werden muss:

(6)  –M·v·Δv + ½·M²/m·Δv² + ½·M·2vΔv + ½·M·Δv²
      =  ½·M²/m·Δv² + ½·M·Δv²
      =  ½·M·Δv²·(M/m – 1),

also dasselbe wie in (4.2). Wie sich das auf die Körper verteilt, ist in der Tat abhängig von der Wahl des Bezugssystems.

Fahr einfach mal mit 50 km/h mit einem Auto auf einen stehenden Wagen auf, danach mit ebenfalls 50 km/h auf einen, der dir mit ebenfalls 50 km/h entgegenkommt.

Und bitte ändere die Reihenfolge der Versuche nicht, denn nach dem 2. bist du vielleicht tot, und kannst nicht mehr über die Frage nachdenken.

Im zweiten Fall ist die kinetische Energie nämlich 4mal so hoch.

Genau so hoch, als wenn du mit 100 km/h auf einen stehenden Wagen auffährst.

Ob nun 50+50 oder 100+0, die Summe ist 100.

Und in der Tat ist die Zeit=Energie zum Beschleunigen von 0 auf 100 die vierfache wie die von 0 auf 50.
Das ist natürlich Physik, und die Tatsache, dass in "von 50 auf 100" höhere Gänge benutze, spiegelt das nur wider.

Spannend fände ich die Frage, wie es in folgender Situation aussieht:
Ich beschleunige mit meinem Auto auf 100 km/h, in sachmal 10 Sekunden.
Dann wechsle ich über eine Rampe auf einen Zug, der neben mir fährt.
Danach beschleunige ich auf dem Zug (einem Autoraserzug) noch mal in 10 Sekunden auf 100 km/h relativ zum Zug, also 200 km/h relativ zur Erde.

Also habe ich nicht 4mal, sondern nur doppelt so viel Energie und Zeit benötigt, um auf 200 km/h in Bezug zur Umgebung zu kommen.

Aber irgendwie geht immer alles auf, denn ich habe den Zug ja nach hinten beschleunigt, "mich an ihm abgestoßen". Ihm kinetische Energie geklaut.

So oder so, es geht immer auf, wenn man es genau betrachtet.
Sogar mit den Einheiten, wenn man zu schwierigeren Themen kommt.

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