Ist c) lösbar oder nicht (Lineares Gleichungssystem?

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2 Antworten

Hallo;

Ich forme zunächst mal alles mit Gauß um, und dann sehen wir weiter;

(0  1  2)   (x1)   ( 5)
(0 -2  0) * (x2) = (-2)   // x1, x2, und x3 sind unsere Unbekannten
(0  0  4)   (x3)   ( 8)

Rechnung:
    (0  1  2  |  5)
<=> (0 -2  0  | -2)  |:(-2)
    (0  0  4  |  8)  |:4

    (0  1  2  |  5)  |-2 * (III) // III = 3. Zeile
<=> (0  1  0  |  1)
    (0  0  1  |  2)

    (0  1  0  |  1)  |-(II)  // II = 2. Zeile
<=> (0  1  0  |  1)
    (0  0  1  |  2)

    (0  0  0  |  0)
<=> (0  1  0  |  1)
    (0  0  1  |  2)

Nun können wir direkt ablesen, dass x2=1 und x3=2 ist:

(0  0  0)   (x1)   (0)
(0  1  0) * (x2) = (1)
(0  0  1)   (x3)   (2)

=> x2 = 1 und x3 = 2

Aber was ist mit der ersten Zeile?
Eine "Nullzeile". 
Das heißt wir "füllen" unsere Matrix einfach mit einem Parameter auf, denn es gibt unendlich viele Lösungen, wenn eine Nullzeile enstanden ist:

(1  0  0)   (x1)   (t)  // t sei ein Parameter; vermutlich aus IR
(0 1 0) * (x2) = (1)
(0 0 1) (x3) (2)

=> x1 = t und x2 = 1 und x3 = 2

Das Gleichungssystem ist somit nicht eindeutig lösbar, da es unendlich viele Lösungen gibt.
Aber es ist nicht nicht lösbar, nur halt eben nicht eindeutig ;)

Hoffe es ist anschaulich :) 
Ansonsten kann Willy1729; Willibergi, MaRoXeS (oder wie man ihn schreibt xD), DepravedGirl oder irgendein anderer Mathe-Experte seinen Senf dazu geben :D

Bitte... Man sieht es doch auf dem ersten Blick. 

Wende doch bitte mal den Gauß drauf an und bring das ganze in Stufennormalform. Dann wird es auch dir eindeutig erscheinen.

ackerland06 18.06.2017, 14:32

Bitte erklären! 

0
ackerland06 18.06.2017, 14:32

Nach dem Buch ist es unlösbar

0
hairybear 18.06.2017, 14:41
@ackerland06

Zeigen wir es mal in kleinen Schritten:

LGS in Matrixschreibweise:

0  1 2   5    

0 -2 0  -2    | *(-1/2)

0  0 4   8    | * (1/4)

________________________

0  1 2   5    |  I - 2*III

0  1 0   1

0  0 1   2

________________________

0  1 0   1    | I - II

0  1 0   1

0  0 1   2

________________________

0  0 0   0

0  1 0   1

0  0 1   2

________________________

Es existieren Lösungen dadurch dass Rang(A) = Rang(A/b).

Damit hast du die Lösung x2 = 1 und x3 = 2


1
Willy1729 18.06.2017, 14:44
@ackerland06

Es ist keineswegs unlösbar, sondern hat im Gegenteil unendlich viele Lösungen, weil x1 beliebig sein kann.

Willy

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