Ist 3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ analytisch lösbar?

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3 Antworten

Die bisherigen beiden Antworten, sind die merkwürdigsten, die ich je auf GF gelesen habe. Hier wird nicht nur mit Kanonen auf Spatzen geschossen, sondern hier wird eine Wasserstoffbombe gezündet um eine einzelne Ameise zu töten. Aber auch dieser Vergleich erscheint mir noch um einige Größenordnungen untertrieben.

Eine ganz triviale Lösung ist z.B folgende (für natürliche n): n=1 ist keine Lösung. Für n=2 liegt offenbar eine Lösung vor. Für n=3 gilt 5^n > 3^n + 4^n (nämlich 125 > 91)

Jetzt folgt durch vollständige Induktion 5^n > 3^n + 4^n  für n>=3, denn
5^(n+1) = 5 * 5^n > 5 ( 3^n + 4^n)   nach Induktionsannahme
5 ( 3^n + 4^n) = 5 * 3^n + 5 * 4^n > 3 * 3^n + 4 * 4^n = 3^(n+1) + 4^(n+1)
wwwww (which was what was wanted)

Folglich ist n=2 die einzige Lösung

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für alle n > 2 als Integer ? Oh, da habe ich eine Lösung: nein, geht nicht. :D

Nennt sich Fermatsches Theorem und es hat > 300 Jahre gedauert, einen vollständigen Beweis zu erbringen, dass sowas nie funzt. Für Einzelfälle wie n=3 und n=4 gibts schon länger Beweise und Pierre de Fermat hat sowas gleich nach seiner Behauptung, das sowas für n >2 nicht funzt, selber dargelegt.

Für n=2 hingegen gibts natürlich eine Erfolgsmeldung. Das ist auch der simpelste Pythagoras, den es gibt und der ist schon seit antiken Zeiten bekannt. Solche Pythagoräischen Tripel sind mit aufsteigenden Werten immer seltener.

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Kommentar von Schachpapa
18.06.2016, 14:01

Naja, Fermat hat den Satz beim Lesen eines Buches an den Rand geschrieben und behauptet, er kenne einen Beweis, für den aber wohl gerade der Platz nicht reicht. Leider hat er ihn auch später nicht aufgeschrieben. Man vermutet heute, dass er eine einfachere Version, nicht den allgemeinen Beweis, vor Augen hatte.

Schönes Buch dazu: "Simon Singh: Fermats letzter Satz"

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Das ist doch der Satz von Fermat. Die Gleichung a^n+b^n=c^n hat demnach für ganzzahlige a, b, c, n keine Lösung, sofern n>2 ist.

Und für n=1 und n=2 trifft die Gleichung hier ja auch nicht zu.

Der Satz von Fermat wurde vor ca. 20 Jahren von Andrew Wiles bewiesen.

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Kommentar von Willibergi
18.06.2016, 13:42

Vielen Dank, den Satz kannte ich noch nicht. ;)

LG Willibergi

PS: Für x = 2 ist die Gleichung wahr. ^^

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Kommentar von Ranzino
18.06.2016, 13:44

3² + 4² = 5²  denn  9+16=25   Ist ein antiker Pythagoras und er funzt auch mit allen Vielfachen und Teilern von 3 4 5,  also  z.B. 6 8 10 ( 36+64=100) 

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