Ist 0,[periode]9 irrational oder das gleiche wie 1?

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7 Antworten

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Es ist nicht Definitionssache. Und dafür, dass diese Zahl irrational ist, gibt es nun überhaupt keine Argumente - irrationale Zahlen sind nie peridodisch, das kann schon vom ersten Hinschauen nicht sein. 

0,periode 9 ist eine andere Schreibweise für 1. Mehr nicht. Beide Schreibweisen beschreiben exakt dieselbe Zahl. Da gibt es keinen auch noch so kleinen Unterschied. Jede abbrechende Zahl kann auf diese Weise auch als (oft) gemischt periodische Dezimalzahl geschrieben werden, also etwa

1,5 = 1,4 periode 9

0,3 = 0,2 periode 9

In allen Fällen steht das Gleichheitszeichen dort zu Recht. 

Und was ist dann mit der Grenzwertbetrachtung der Funktion f(x)=1+1/x ?

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Sind periodische Zahlen nicht irrational? Ich dachte, die Beschreibung "irrational" lässt sich auf alle Zahlen anwenden, dieso zu sagen nur theoretisch vorkommen.
Demnach wäre "periodisch" "irrational" untergeordnet.
Da scheine ich wohl nicht aufgepasst zu haben.
Wie genau lautet das Kriterium einer irrationalen Zahl?

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@Blackasthesky

Sind periodische Zahlen nicht irrational?

Nein. Siehe meine Antwort.

Demnach wäre "periodisch" "irrational" untergeordnet.

Nein. Du machst den verbreitetsten Schüler- (und Erwachsenen-)Fehler, denn es in Punkto Mathe gibt: Du verwechselst die Schreibweise mit der Sache selbst. Das Dezimalsystem, namentlich die "Kommazahlen", sind eine Schreibweise für Zahlen, das sind nicht die Zahlen selbst.

Glaubst du auch, dass man in der Buchstabenfolge "H"-"a"-"u"-"s" wohnen kann ("Haus" ist gerade mal die Schreibweise im Deutschen, und die Franzosen schreibens "Maison")? - sicher nicht.

Die Zwölf zB kann ich schreiben als "zwölf" (deutsches Zahlwort), "twelve" (englisches Zahlwort), "1100" (im Binärsystem), "XII" (als römische Zahl), "12" (Dezimalsystem), etc. -- Eine Zahl, viele, viele mögliche Schreibweisen.

Entsprechend ergibt zB 1/10 als Kommazahl im Binärsystem eine unendlich Kommazahl, wogegen es im Dezimalsystem einfach nur 0,1 ergibt.

Du verwechselst Probleme eines Schreibsystems (was kann in einem bestimmten Schreibsystem wie geschrieben werden) mit Eigenschaften der Zahl selbst.

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Periodische Kommazahlen sind NIE irrational. Sie sind nämlich IMMER in einen Bruch umwandelbar (hattet ihr in der sechsten Klasse).

Dein 0,[periode]9 ist also auf jeden Fall rational. Und ja, es ist gleich 1.

Und rational/irrational ist NICHT über Kommastellen definiert.

- Eine Zahl ist rational, wenn sie gleich einem gewöhnlichen Bruch ist (du kannst auch sagen: wenn sie in einen solchen umgewandelt werden kann)

- Eine Zahl ist irrational, wenn sie nicht rational ist, als nicht gleich einem gewöhnlichen Bruch ist (du kannst auch sagen: wenn sie nicht in einen solchen umgewandelt werden kann)

Es geht auch so:

10*0,9_=9,9_

(10-1)*0,9_=9

0,9_=9/9=1

Herzliche Grüße,

Willy

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