Irrationales (Zahlenmengen)

3 Antworten

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Nach Aufgabenstellung sollst Du ja konstruieren, nicht rechnen. Es hat etwas gedauert, aber ich habe jetzt eine Zeichnung fertig (GeoGebra sei Dank). Dabei kommt sogar ein Strahlensatz vor:

  1. Ich zeichne ins Koordinatensystem ein Rechteck mit a0 = 2 und b0 = 1 (grün). Dieses soll nun Schritt für Schritt in ein Quadrat überführt werden mit der Kantenlänge Wurzel(2). Das Verfahren ist im Grund das Heron-Verfahren, nur eben zeichnerisch.

  2. Ich übertrage b0 auf a0 (e, Punkt E) und bestimme den Mittelpunkt M1 von EA0. OM1 = a1. Hierzu muss ich nun ein passendes b1 bestimmen.

  3. Es gilt: a0·b0 = a1·b1 <=> a0:a1 = b1:b0. Hier deutet sich ein Strahlensatz an. Ich übertrage a0 auf die y-Achse (Punkt A0') und verbinde A0' mit M1 (f). Senkrecht über E auf f liegt F, waagrecht davon auf der y-Achse G. A0'O (=a0) und A0'M1 sind die beiden Strahlen, OM1 (=a1) und GF (=b0) die Parallelen. Es gilt nach dem 2. Strahlensatz: A0'O:OM1 = A0'G:GF <=> a0:a1 = A0'G:b0. Also muss A0'G = b1 sein.

  4. Diese Länge b1 trage ich auf der y-Achse ab O ab (Punkt B1) und ergänze zu dem neuen Rechteck (blau).

  5. Nun geht das ganze von vorne los: b1 auf a0 übertragen (k, H), Mittelpunkt von HM1 bestimmen (M2, rot). . . .

Das Verfahren ist zwar zeichnerisch ziemlich aufwändig, konvergiert aber relativ schnell (a0 = 2, a1 = 1,5, a2 = 1,42).

Es gibt ein weiteres konstruktives Verfahren, welches direkt zum Ziel führt, nämlich über den Höhensatz des Euklid. Hierzu eine Skizze.

Heronverfahren - (Mathe, Konstruktionsverfahren) Höhensatz - (Mathe, Konstruktionsverfahren)

Ich habe mir gerade alle Kommentare und die Aufgabe noch mal durchgelesen. Es bleibt für mich offen, ob Du wirklich einen Strahlensatz benutzen musst (das ist bislang nur beim Heron-Verfahren der Fall) oder ob es um die Position von Wurzel(2) auf dem Zahlenstrahl geht. Dafür sind Pythagoras (siehe Volens), Höhensatz und Heron geeignet.

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Ist da wirklich ein Strahl wie beim Strahlensatz gemeint oder ein Dreieck, das ja auch zwei Strahlen enthält, wenn man will, zumal das rechtwinklige Dreieck und bei diesem etwa die Seiten c und b?

Denn mit dem Höhensatz eine Wurzel zu konstruieren, ist die effektivste Methode.
Schreib mal einen Kommentar,

Ein Strahlensatz ist gemeint. Es steht auch, dass ich die Zahl möglichst genau ablesen muss

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@Chrizcoast

Dann fällt mir nur noch der Pythagoras ein. Mit dem kannst du sogar mehrere Wurzeln konstruieren, und es sieht aus wie beim Strahlensatz.

Wenn du einen Winkel von 90° zeichnest und trägst auf jedem Schenkel die Strecke 1 ab, ist die Verbindung der beiden genau √2 lang
wegen 1² + 1² = 2 = (√2)².

Du könntest als zweite Wurzel die √8 konstruieren. Dazu müsstest du auf den Schenkeln die Länge 2 abtragen und verbinden, Dann ist nämlich 2² + 2² = 8 und die Parallele zur erstgezeichneten Strecke genau √8.


Wenn du √2 genauer ablesen willst, zeichne nicht 1 cm auf den Schenkeln, sondern 1 dm = 10 cm. Die Strecke √2 dm ist länger und besser abzulesen.

1
@Volens

Das kannst du in derselben Zeichnung machen, nur ein Stück weiter hinaus. Auch diese Verbindung wird wieder eine Parallele.

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@Chrizcoast

Aber pass auf! Es funktioniert nur mit einem rechten Winkel, also mit 90°.

1

Du musst ein immer kleiner werdendes Intervall untersuchen. Fang an mit [1; 2]. √2 liegt da drin.

Jetzt halbiere das Intervall in [1; 1,5] und [1,5; 2] und teste, in welchem Intervall die Zahl liegt:

1² = 1, 1,5² = 2,25, 2² = 4
=> √2 liegt in [1; 1,5]

Halbiere wieder: [1; 1,25] und [1,25; 1,5]

1² = 1, 1,25² = 1,5625, 1,5² = 2,25
=> √2 liegt in [1,25; 1,5]

Und so weiter, je nachdem, wie genau du es willst.

Aber in Arbeitsblatt steht, dass ich ein Strahlenstrahl richtig positionieren muss.

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@Chrizcoast

Ja, und? Genau das geht mit dem obigen Verfahren. Die Mitte eines Intervalls kannst du mit Zirkel und Lineal konstruieren.

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