Irrationale Zahlen? Aber was ist das?

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5 Antworten

Lass dich mal mit dem "unendlich", "periodisch", "nichtperiodisch" etc nicht verwirren - das ist nicht die Definition. Die ist viel einfacher:

  • Rationale Zahl: Sie kann als Quotient (Bruch) zweier ganzer Zahlen geschrieben werden, 3/4, 1/3 etc; aber auch die ganzen Zahlen gehören dazu, da zB 5=5/1. Von Quotient kommt auch die Bezeichnung Q für die Menge der rationalen Zahlen.
  • Irrationale Zahl: Eine reelle Zahl die nicht rational ist, als eben nicht als Quotient (Bruch) zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann. Irrationale Zahlen, die wohl jeder kennt, sind Wurzel(2), π und e.

Noch kürzer: "Rationale Zahl" = "Verhältniszahl"; "irrationale Zahl"="Nicht-Verhältniszahl".


"ratio" ist lateinisch und wird meistens im Sinne von "Vernunft" verwendet. "ratio" hat aber noch andere Bedeutungen, unter anderem: (Größen-)Verhältnis, Quotient. Das deutsche Wort "Rate" (wie zB in "Inflationsrate") kommt auch von "ratio" -- noch deutlicher im Englischen: "ratio"(engl)="Größenverhältnis".

"Rational" bzw "Irrational" bedeutet in der Mathematik also nicht etwa "Vernünftig" bzw "Unvernünftig" (ein verbreiteter Irrtum), sondern bedeutet "Verhältnis" bzw "Nicht-Verhältnis".


Es stimmt natürlich: Als Deziamlzahlen geschrieben sind die irrationalen genau die mit den unendlich vielen, nichtperiodischen Nachkommastellen, alles andere sind rationale Zahlen. Aber das ist eben nicht die Definition, sondern bloß ein Satz. Und im Grunde sagt der bloß was über Eigenarten des Stellenwertsystems. An den irrationalen Zahlen selbst ist überhaupt nichts "unendlich" oder "nicht-periodisch".

Rational - als Bruch (mit ganzzahligem Zähler und Nenner) darstellbar.
Irrational - nicht als Bruch (mit ganzzahligem Zähler und Nenner) darstellbar.

So ohne weiteres zu "erkennen" sind die nicht, das muss man beweisen. Der einfachste beweis ist der von Euklid für die Irrationalität von Wurzel(2), schau dir den mal an.

PS: Selbst wenn man sagt, man könne sie an unendlich vielen, nichtperiodischen Nachkommastellen erkennen : Wie will man denn erkennen, dass da unendlich viele, nichtperiodische Nachkommastellen sind? Auf ein Blatt Papier passen unendlich viele Nachkommastellen jedenfalls nicht. Eine solche Antwort taugt also nicht wirklich was. Es bleibt nur: der mathematische Beweis.

Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die sich nicht als Brüche mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen lassen (und damit auch nicht als ganze Zahlen, denn eine ganze Zahl lässt sich als "Eintel" und damit als Bruch dastellen: -5 = -5 / 1 , lies : "-5 Eintel oder auch -5 Ganze).

Wenn eine irrationale Zahl als Kommazahl darstellt ist, hat sie unendlich viele Stellen, die aber keine Periode enthalten (wohingegen das bei allen rationalen Zahlen der Fall ist, die unendliche viele Kommastellen haben).

Wenn eine irrationale Zahl nicht als Kommazahl dargestellt ist, musst du das einfach wissen. Zum Beispiel ist jede Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl, die nicht Quadrat einer anderen natürlichen Zahl ist, irrational (√16 = √4² = 4 ist rational, aber √15, √14, √13, √12 sind irrational)

Häufig verwendete irrationale Zahlen sind die Kreiszahl

π = 3,14159265358979323846...

und die Eulersche Zahl

e = 2,718281828459045235...

D.H. :-)

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Mathematische Definition (wie man sie auch an der Uni lernt): Rationale Zahlen sind alle, die sich als Bruchzahlen darstellen lassen.

Dazu gehören dann aber auch Dezimalzahlen (denn z.B. 0,7 = 7/10) und ganze Zahlen (3 = 3/1).

Also sind alle Zahlen, die man als Bruchzahlen schreiben kann, rational, und alle anderen irrational.

Ach so, und imaginäre Zahlen sind natürlich auch irrational (falls ihr die hattet)

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@Dentrassi

Diese Aussage ist falsch! Es gibt nur eine imaginäre Einheit (Zahl), das ist die geradzahlige Wurzel(- 1)!

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@UlrichNagel

Es gibt nur eine imaginäre Einheit (Zahl),

*sigh*
Herr Nagel möge sich den Unterschied zwischen der imaginären Einheit (i) und den imaginären Zahlen (Vielfache von i) klarmachen.

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@Dentrassi

Ach so, und imaginäre Zahlen sind natürlich auch irrational (falls ihr die hattet)

Nö. Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht rational sind.

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Der 2. Satz ist falsch. Die irrationale Zahl (nicht aufgehende mit irrelangen Schwanz) ist zwar eine reelle Zahl (wirklich existierende), aber keine imaginäre Einheit!

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@UlrichNagel

nicht aufgehende mit irrelangen Schwanz

Mag sein, dass U.N. sowas gerne hätte ;-)

Bloß: außer in seinem Kopf ist das nicht die Definition. Die stammt nämlich aus der Antike (bekanntlich stammt der Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 von Euklid).

Und zu Euklids Zeiten gabs noch lange kein Dezimalsystem, geschweige denn "Kommazahlen". Wer solche Pseudo-Definitionen bringt, verrrät also nicht nur Unkenntnis in Mathe, sondern auch Unkenntnis in Geschichte. Wobei man das dem "Nachhilfelehrer" U.N. schon mehrfach erklärt hat!

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@schuhmode

Was es in der Antike gab, war das Sechzigersystem der Babylonier. Damit wurden aber keine "Kommazahlen" geschrieben. Und weder Euklid noch sonstwer hat jemals Zahleigenschaften bzw Zahlmengen über ihre Schreibweise in diesem oder jenem Ziffernsystem definiert. - Dieses ist lediglich eine fixe Idee von U.N.

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@schuhmode

OK und wenn Mathelehrer Definitionen aus der Antike verwenden, leben sie hinter dem Mond. Neue Erkenntnisse bringen auch neue Definitionen. Lest mal die Definitionen für Reell, rational usw.!

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@UlrichNagel

OK und wenn Mathelehrer Definitionen aus der Antike verwenden,

Ich habe Mathe studiert.
"Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält." (http://www.mathepower.com/inforational.html)
natürlich wird U.N bei jedem Zitat, das seiner Privatdefinition nicht entspricht, einfach behaupten, das sei veraltet.

Neue Erkenntnisse bringen auch neue Definitionen.

Die Phantasien des U.N. sind keine "neuen Erkenntnisse".

Lest mal die Definitionen für Reell, rational usw.!

Im Gegensatz zu U.N. Hab ich die nicht nur gelesen, sondern auch verstanden.

"... rational als Adjektiv steht in der Mathematik für: -rationale Zahl, das Ergebnis einer Division zweier ganzer Zahlen" (de.wikipedia.org/wiki/Rational)

"Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann." (de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl)

Natürlich wird U.N. einzig das von im selbst verfasste Büchlein als relevante Qulee anerkennen. LOL.

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@UlrichNagel

@UN

OK und wenn Mathelehrer Definitionen aus der Antike verwenden, leben sie hinter dem Mond.

Hat du je in ein Mathematikbuch reingeschaut? Anscheinend nicht :-(

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Mathematische Definition (wie man sie auch an der Uni lernt): Rationale Zahlen sind alle, die sich als Bruchzahlen darstellen lassen.

Das lernt man genau so auch in der Schule! Und zwar in der Mittelstufe!

Nur vergessen das fast alle wieder, und merken sich statt dessen diese "Nachkommastellen-Story" als "Definition" - und das nicht nur wider besseren Rat, sondern das mit den Nachkommastellen ist ja auch viel komplizierter als dir rchtige Definition.

Wieso sich die Leute freiwillig und wider besseren Rat an dem Punkt immer das Kompliziertere merken, gehört zu den Dingen, die ich wohl nie verstehen werde...

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das sind die Zahlen die unendlich und nicht periodisch sind.

zum Beispiel: Wurzel aus 2, Pi oder Eulersche Zahl

"Unendlich" ist keine Zahl, und was eine Zahl ist, ist nicht unendlich.

Gemeinst ist wahrscheinlich: Eine Zahl mit unendlich vielen Kommastellen. - Eine solche Zahl a als ganze ist aber trotzdem endlich und z.B. kleiner als a + 1; das ist bei "unendlich" nicht der Fall.

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@psychironiker

Ich meinte natürlich unendich viele nachkommastellen ansonsten hätte ich nicht pi oder die eulersche zahl als beispiel angegeben. Zum Thema unendlich: auch mit unendlich kann man rechnen, das meiner meinung nach auch unendlich zu eine art zahl macht, eine sonderform halt.

Beispiel: 1^unendlich = 1

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