Intervallschachtelung: Beweis, dass 0,9 periodisch = 1 gilt?

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Das geht schnurgeradeaus mit [1–10ⁱ, 1+10ⁱ ], also effektiv

[ 0,9; 1,1 ]
[ 0,99; 1.01 ]
[ 0,999; 1,001 ]
...

Die Mitte liegt immer bei genau 1, und 0,99999... ist auch drin :-)