Interstellar: Wieso dauert es 7 Jahre auf dem Planeten?

7 Antworten

Hallo HadiSorr589,

ein Faktor von rund 8800 ist wohl unrealistisch (s. ganz am Schluss). Dass allerdings Geschwindigkeit und auch der Aufenthalt in der Nähe eines Schwarzen Lochs eine regelrechte Zeitmaschine darstellt, will ich gern begründen. Leider muss ich dafür etwas ausholen, hoffe aber, dass ich das verständlich darstelle.

Zeit ist Weglänge oder Koordinatendifferenz in Vorwärtsrichtung in der Raumzeit. Der Weg eines Körpers durch sie wird als seine Weltlinie bezeichnet.

  • Der Weglänge entspricht die von einer lokalen Uhr direkt gemessene Eigenzeit.
  • Der Koordinatendifferenz entspricht die Koordinatenzeit, wie sie von einer Bezugs-Uhr aus ggf. auf Distanz durch Messung und Berechnung unter der Annahme ermittelt wird, dass die Uhr stationär ist.

Relativitätsprinzip (RP) und Relativität der Gleichortigkeit

Von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' jede als stationär angesehen werden. Die Bewegungsrichtung nenne ich x- bzw. x'-Richtung und das Tempo v. Ereignisse, die in derselben Position relativ zu U stattfinden, haben relativ zu U' einen räumlichen Abstand Δs'=vΔt' und vice versa. Allgemein werden wir Ereignisse, die sich mit einer geeigneten Bezugs-Uhr Ω als gleichortig beschreiben lassen, zeitartig getrennt nennen, mit der von Ω direkt gemessenen Eigenzeit Δτ.

Ein räumliches Modell

Modellhaft können wir uns zwei zueinander schräg verlaufende Straßen (oder Salamis) S und S° vorstellen, deren Vorwärtsrichtung wir z- bzw. z°-Richtung nennen. Als x-Richtung bzw. x°-Richtung bezeichnen wir die jeweilige Quer- Richtung.

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist natürlich unabhängig vom Koordinatensystem und nach PYTHAGORAS

(1)  Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²}. 

GALILEI meets MAXWELL

In der NEWTONschen Mechanik (NM) ist Δt'=Δt=Δτ, also der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ist absolut, d.h., unabhängig davon, welche Uhr wir als ruhend ansehen. Der räumliche Abstand Δς zweier gleichzeitiger Ereignisse ist in der NM ebenfalls absolut, Δs'=Δs'=Δς.

Das lässt sich aber nicht halten, wenn man das RP auf die von MAXWELL formulierten Gesetze der Elektrodynamik und damit auch die MAXWELLsche Wellengleichung anwendet. Diese enthält das Licht-Tempo c ≈ 3×10⁸m/s. Was sich also mit c relativ zu U bewegt, muss sich auch relativ zu U' mit c bewegen und umgekehrt. 

Relativität der Gleichzeitigkeit

Ereignisse, die von U aus auf die gleiche Zeit datiert werden, werden von U' aus in zeitlichem Abstand Δt'=vΔx'/c² haben, und vice versa. Allgemein heißen Ereignisse, die sich mit einem geeigneten Bezugskörper (z.B. der Uhr Ω) als gleichzeitig beschreiben lassen, raumartig getrennt. Ihren Abstand Δς relativ zu Ω bezeichne ich als den Gleichzeitigkeitsabstand; dessen Beziehung zwischen den räumlichen Distanzen relativ zu U und U' ist nach EINSTEINs früherem Mathematikprofessor MINKOWKSI

(2.1)  Δς = √{Δs² – Δt²·c²} ≡ √{Δs'² – Δt'²·c²}.

Der MINKOWSKI-Abstand zeitartig getrennter Ereignisse ist nichts anderes als die Eigenzeit

(2.2)  Δτ = √{Δt² – Δx²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}.

Das Minuszeichen bedeutet auch, dass der geradeste Weg durch die Raumzeit nicht der kürzeste, sondern der längste ist.

Kleine Abstände

Krumme Wege lassen sich oft als aus Teilstücken zusammengesetzt beschreiben, die so klein sind, dass man sie als gerade betrachten kann. In diesem Falle schreibt man z.B. 'dτ' statt 'Δτ'. So lässt sich (2.2) auch in sphärischen Koordinaten schreiben:

(3)  dτ = √{dt² − (dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²)/c²} =: √{dt² − (dr² + r²dΩ²)/c²}

Dabei hat dΩ nichts mit der Uhr Ω zu tun, sondern ist eine Zusammenfassung aller tangentialen Abstände, also gewissermaßen der Abstände entlang einer Kugeloberfläche. Diese Aufspaltung wird wichtig, wenn wir über Schwarze Löcher reden.

Die Radialkoordinate r steht nicht nur für den Abstand zum Ursprung r=0, sondern auch - was noch wichtig wird - das 2π-tel des Umkreises, auf dem man sich gerade befindet.

Gravitation als Krümmung der Raumzeit

Ohne es explizit zu sagen, haben wir von U und U' bislang vorausgesetzt, dass sie keinen Kräften unterliegen, und auch Gravitationsfelder ausgeklammert. Im Landschaftsmodell entspricht das geradlinig verlaufenden Straßen in einer perfekten Ebene. 

Im Folgenden meinen wir mit „kräftefrei“ allerdings nur, dass keine Trägheitskräfte auftreten. Folgt ein Körper der Gravitation im freien Fall oder Orbit, ist dies ebenfalls der Fall. Das hat EINSTEIN auf die Idee gebracht, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben. Auf einer gekrümmten Fläche gibt es keine geraden Linien, sondern nur jeweils geradeste Linien, sog. Geodätische. Auf einer Kugeloberfläche sind dies die Großkreise.

Diese laufen unweigerlich zusammen. Parallele Kreise wie die Breitenkreise auf der Erde sind zum großen Teil Kleinkreise. Unternimmt man eine Flugreise an einen anderen Ort auf derselben z.B. nördlichen Breite, nimmt der Flug einen vermeintlichen Umweg nach Norden. Das sieht aber nur auf einer MERCATOR-Projektion so aus, die aus der Kugel- eine Zylinderoberfläche macht und sie dabei natürlich mit zunehmender geographischer Breite immer mehr verzerrt. Tatsächlich ist der „Umweg“ der direkteste Weg.

Er kann grob als Modell für einen senkrechten Sprung dienen, wobei der Längengrad für die Zeit, der Äquator für den Erdmittelpunkt und ein bestimmter Breitenkreis für den Fußboden steht. Während unseres Sprungs ist unser Körper kräftefrei, was durch den Großkreisbogen zwischen Start (≘ Absprung) und Ziel (≘ Landung) dargestellt wird. Das Modell hat natürlich seine Grenzen und darf nicht überstrapaziert werden.

Die Raumzeit nahe einer Kugelmasse

Die Krümmung der Raumzeit wird durch EINSTEINs Feldgleichungen beschrieben. Sie fasst Größen wie Energiedichte, Impulsstrom und Spannung in einem Tensor zusammen und setzt diesen mit ihrem Effekt, der Raumzeitkrümmung in Beziehung, die natürlich ebenfalls durch einen Tensor ausgedrückt wird. Das Ganze kann extrem kompliziert sein.

Dennoch fand schon kurz nach ihrer Veröffentlichung SCHWARZSCHILD eine exakte Lösung, für den mathematisch relativ einfachen Fall einer Punktmasse. Für eine nicht rotierende Kugelmasse ergibt sich außerhalb der Kugel dasselbe Feld.

Dies freilich kann auf keinen Fall die Bezugs-Uhr sein, im Gegenteil: Die muss möglichst weit weg sein, sodass man sie als unendlich weit entfernt idealisieren kann.

Die Masse nennen wir M, und mit der Gravitationskonstanten G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) und Licht-Tempo c ergibt sich der sogenannte Gravitationsradius

(4)  µ = GM/c²,

dessen Verhältnis zu r ein Maß für das lokale Gravitationspotential ist. Die Masse macht (3) zu

(5)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − (dr²/(1 – 2µ/r) + r²dΩ²)/c²}.

Eine stationäre Uhr bei r würde also um den Faktor √{1–2µ} langsamer laufen. Das ergibt sich auch aus der Energieerhaltung. Ein Photon, das im Gravitationspotential aufsteigt, gewinnt dabei an potentieller Energie und muss dafür an kinetischer Energie und damit an Frequenz verlieren.

Außerdem ist die Situation der einer stetigen Beschleunigung ähnlich. Wenn man Licht in die Richtung der Beschleunigung schickt, wird es rot- wenn man es in Gegenrichtung schickt, blauverschoben. Die Hyperbeln stellen eine im Gravitationsfeld „stationäre“ Fläche dar, und die Asymptote einen durch die Beschleunigung als Artefakt entstehenden Ereignishorizont.

Übrigens verliert hier r die Bedeutung als Abstand vom Zentrum. Zwischen der r-Kugelschale und der r+dr-Kugelschale ist der Abstand dr/√{1–2µ/r}, sofern r>2µ ist. r=2µ markiert den Ereignishorizont (EH); für jeden kleineren r-Wert wir r zeitartig, und zwar mit Zeitrichtung nach innen. Von dort gibt es deshalb kein Zurück mehr, auch nicht für Licht. Deshalb heißt dieses Gebilde auch ein Schwarzes Loch (SL). Der EH ist keine feste Oberfläche, sondern eher eine Art Abgrund.

Je näher man dem Zentrum kommt, desto stärker werden die Gezeitenspannungen, und gerade bei kleinen SL werden sie schon vor dem EH tödlich für jedes Raumschiff und seine Besatzung. 

Die SCHWARZSCHILD- Koordinaten sind freilich nicht die geschicktesten, weil sie am EH singulär werden. Außerdem rotieren die meisten Himmelskörper, einschließlich der SL, was die SCHWARZSCHILD-Metrik nicht erfasst. Die KERR-Metrik, die reale SL wohl besser beschreibt, ist mir noch zu kompliziert. Deshalb beschränke ich mich einstweilen auf den nicht-rotierenden Fall.

Tangentiale Geschwindigkeiten und Kreisbahnen

Wenn man sich auf einer Kugelschale bewegt, ist dr=0; das vereinfacht (5) zu

(6)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − r²dΩ²/c²} = √{dt²·(1 – 2µ/r) − dt²·v²/c²} = dt√{1 – 2µ/r − v²/c²}.

Für Kreisbahnen gilt die Gleichgewichtsbedingung

(7)  rv² = µc²  ⇔  v²/c² = µ/r,

sodass (6) zu

(8)  dτ = dt·√{1 – 3µ/r} 

wird. Bei r=3µ wird dτ=0; deshalb liegt dort der Photonenorbit, Dort oder in unmittelbarer Nähe kann sich natürlich kein Planet halten. Die engste stabile Kreisbahn soll bei 6µ liegen, was ich bislang nicht theoretisch begründen kann. Dort ist dt/dτ = √{2}, wie man durch Einsetzen in (8) leicht einsehen kann. Das ist weit entfernt von den 8800, die im Film angegeben werden.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung
 - (Physik, Zeit, Universum)  - (Physik, Zeit, Universum)  - (Physik, Zeit, Universum)  - (Physik, Zeit, Universum)

Der Fachbegriff dafür ist gravitative Zeitdilatation.

Bevor ich jetzt hier zu viel schreibe:

In dem Video wird das ziemlich simpel und gut erklärt👍🏻

https://youtu.be/5-6iAwIvmWM

Woher ich das weiß:Recherche

Ach und dadurch das dieser Planet sehr nah an einem schwarzen Loch ist, ist dort die Gravitation erheblich stärker als z.B. eben auf der Erde.

Sie ist auch stärker als die für den einen der da im Raumschiff geblieben ist, darum ist auch seine Zeit schneller vergangen.

Allerdings war er auch schon näher am schwarzen Loch als die Erde, weswegen seine Zeit trotzdem schneller vergangen ist.

Aber eben nicht so stark wie die auf der Erde. (Bin mir nicht mehr ganz sicher aber glaube zumindest seine Zeit ist auch anders gelaufen, kann aber sein, dass ich mich da irre :D)

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@Florian1236

Entscheidend ist das tiefere Gravitationspotential. Zumindest auf einem Planeten um ein SCHWARZSCHILD- SL wäre der Effekt allerdings nur etwas über 1,4.

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Zeit ist relativ zur Geschwindigkeit. Astronauten auf der ISS reisen an sich auch in die Zukunft. Allerdings nur um ein paar Tausendstel Sekunden. Wie realistisch das mit den 7 Jahren ist, musst du selbst wissen.

Das kann man nur wissen, wenn man über die nötigen Formeln verfügt. Leider kenne ich mich mit KERR- Schwarzen Löchern (SL) nicht gut aus, nur mit dem SCHWARZSCHILD- SL mit der Metrik

(1.1) c²dτ² = c²dt²(1 − 2μ⁄r) − dr²/(1 − 2μ/r) − r²dθ²  − r²sin²(θ)dφ²,

wobei μ = GM⁄c² ist, mit der Masse M des SL, der Gravitationskonstanten G und dem Lichttempo c, einer kurzen Eigenzeitspanne dτ (wie sie vor Ort gemessen wird) und einer kurzen Koordinatenzeitspanne (wie eine weit entfernte Uhr sie messen würde) dt.

Der Rest sind räumliche sphärische Koordinaten (bzw. kleine Koordinatendifferenzen), wobei r nicht wirklich der räumliche Abstand zum Zentrum ist, sondern einen Umkreis des Umfangs 2πr markiert. Wir können θ ≡ ½π => sin(θ) ≡ 1 und für eine Kreisbahn dr = 0 annehmen, was (1.1) zu

(1.2) c²dτ² = c²dt²(1 − 2μ⁄r) − r²dφ²

vereinfacht. Mit r²dφ² = v²dt² wird daraus

(1.3) dτ² = dt²(1 − 2μ/r − v²⁄c²),

woraus sich schnell

(1.4) dt⁄dτ = 1⁄√{1 − 2μ⁄r − (v⁄c)²}

herleiten lässt. Muss man noch das Bahntempo für einen gegebenen Bahnradius kennen:

(2) rv² = μc² ⇔ (v⁄c)² = μ⁄r.

Das macht (1.4) zu

(3) dt⁄dτ = 1⁄√{1 − 3μ⁄r}.

Dieser Nenner wird für r = 3μ Null; dies ist der Photonenorbit, der allerdings instabil ist.

In der Literatur findet man für stabile Kreisbahnen die Untergrenze r = 6μ, was zu dt⁄dτ = √{2} führt. Das ist gerade mal etwas mehr als 1,4, d.h., um 7 Erdenjahre dort zu verbringen, müsste man knapp 5 Jahre Eigenzeit „opfern".

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Auf welchem Planeten denn? Wovon redest du? Nein, wir haben nicht im gesamten Universum die gleiche Zeit. Zeit ist relativ. Je größer die Masse von einem Planeten, desto langsamer vergeht die Zeit auf ihm. Auch Paradies und Hölle sind viel größer als die Erde. Wenn ein Tag auf ihnen vergangen ist, sind auf der Erde 1000 Jahre vergangen.

Welcher Planet? Ein Jahr ist halt einmal um den Stern herum. Gibt verschiedene Sterne und verschiedene Planeten, deswegen ist das nicht immer dieselbe Zeitspanne.

Äh ne? :D Das wäre ein bisschen zu einfach.

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@Arezznologie

Äh doch. "ne" Ist keine Antwort auf die Frage welchen Planeten du meinst. Du sprichst von "dem Planeten". Ja welcher denn?

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@Arezznologie

Oh, sorry für die Verwechslung.

Also nur weil zB. Planet A 10 Jahre um seine Sonne brauch und die Erde 1 Jahr, ist also die Zeit im durcheinander? Das ergibt keinen Sinn.

Keine Ahnung. Ich hab nicht geschrieben, dass irgendwas durcheinander ist. Ich hab das geschrieben, was ich aufgrund der unklaren Frage geschrieben hab. Kommt eben darauf an, ob es ein Erdjahr oder ein Marsjahr oder irgendein anderer Planet um einen anderen Stern ist. Somit ist ein Jahr nicht immer dieselbe Zeitspanne. Das hab ich geschrieben, und das stimmt so.

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das hat nichts mit der Frage zu tun.

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@DonkeyShot

Es geht um den Film "Interstellar", wo ein Astronaut ein supermassives Schwarzes Loch namens Gargantua bereist, weil in dessen Orbit Planeten entdeckt wurden.

Die in der Frage aufgegriffene Behauptung ist, dass eine Stunde auf einem solchen Planeten 7Jahren auf der Erde entsprechen, was ich für unrealistisch hoch halte.

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