Integrierbarkeit- Wie genau ist die Bedingung "Bis auf endlich viele Sprungstellen stetig" zu nehmen bzw. wo sind da die Grenzen?

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2 Antworten

Stetigkeit ist grundsätzlich dadurch definiert, dass es für alle x aus D (Definitionsbereich) beidseitig gleiche Grenzwerte gibt. 

also lim(f(x)) (Mit x gegen a) = b mit a Element aus D und b element aus B (Bildbereich)

Zwischen zwei Unstetigkeitsstellen kann eine Funktion durchaus stetig sein. Man müsste (falls man das will) dann alle "Teilfunktionen" einzeln integrieren und einen Grenzwertübergang zur Unstetigkeitsstelle machen.

Und solange das nur endlich viele sind (endlich viele heisst ganz einfach NICHT unendlich viele) kann man das auch tun. Das gibt halt endlich viele Integrale, welche unter Umständen eben sehr viele werden. (Aber eben niemals unendlich viele)

LG

 Zahl reiche Autoren beschränken das Riemann-Integral ( R-Integral ) auf stetige Funktionen; jedoch denkst du da viel zu vorsichtig. Die Umkehrung gilt nämlich " fast " ; siehe die einschlägige Literatur über Funktionalanalysis ( z.B. Sauer-Szabo )

   Im Folgenden will ich unter einer " Funktion "  speziell eine Funktion verstehen, die auf dem Intervall J := [ a ; b ] beschränkt ist. Das ist erforderlich, weil wir für die Definition des R-Integrals Supremum und Infimum benötigen. Mit diesen Maßgaben existieren stets ===> Unter-und Oberintegral; eine Funktion sei R-integrierbar genau dann, wenn

   Unterintegral = Oberintegral 

   " Eine Funktion ist R-integrierbar <===> sie ist ===> fast überall ( f.ü. ) auf J stetig. "

   Ich war Übungsleiter für Erstsemester Mechanik; meine Studenten hatten auf ihrem Übungsblatt D&I die Aufgabe

  " Ist sin ( 1 / x ) integrierbar auf [ - 1 ; + 1 ] "

   Ja; ein einzelner Ausnahmepunkt ist immer eine ===> Nullmenge.

   Do h Vorsicht; eine berühmte unendliche Nullmenge, mit der die Studenten von Anfang an vertraut gemacht werden, ist |Q .  ja eine Nullmemge braucht keines Wegs abzählbar sein; ein Gegenbeispiel aus dem Fischerlexikon Matematik ist fogendes " Fraktal " , das ich induktiv definiere:

   1) Aus M0 := [ 0 ; 1 ] radiere ich das mittlere Drittel ( 1/3 ; 2/3 ) aus; was übrig bleibt, nenne ich M1 . Das Maß von M1 beträgt 2/3 .

   2) M ( n + 1 ) sei definiert, indem ich aus jedem Teilintervall von M ( n ) das mittlere Drittel ausradiere. Behauptung: M ( n ) ist eine Vereinigung von Intervallen mit Gesamtlänge ( 2/3 ) ^ n

   3) Mit M bezeichne ich den Durchschnitt

      M  :=   ^     M ( n )    (  1  )

                 n

   Behauptung:

   1) M ist eine nicht abzählbare Teilmenge von |R

   2) Ihr Maß ist Null .

  Kann ich schon den Begriff des ===> Lebesque-Integrals ( L-Integrals ) voraus setzen? |R wurde praktisch motiviert, indem |Q topologisch nicht vollständig ist; genau so sagte man: C0, die Menge der stetigen Funktionen, besitzt nicht alle ihre Häufungspunkte. Dagegen L ² schon.

   Ist jede Funktion L-Integrierbar? Oder genauer gefragt: Ist jede Teilmenge einer messbaren Menge selber messbar? Also: Vererbt sich Messbarkeit? Nein.

   Da gibt es das berühmte ===> Tarskiparadox. In Axiomatik bin ich jetzt nicht so firm; aber die L-Teorie ist gutartig im folgenden Sinne. Sei U eine Teilmenge der Einheitskugel mit dem Volumen V ( U ) Dann ist V  invariant unter elementar geometrischen Transformationen wie Drehung, Translation und Spiegelung der Menge U . Nennen wir diese Symmetriegruppe G ( K )    Tarski behauptet nun nicht weniger als

   " Ich gehe her und zerlege die Kugel K in eine Partition M1, ... , M5 . Dann gibt es fünf geeignete Symmetrietransformationen T1, ... , T5 € G , so dass

   K  '  :=  V  T ( i ) M ( i )    (  2.1a  )

   V  (  K  '  )  =  2  V  (  K  )     (  2.1b  )

   Das Paradoxon besteht also darin, dass die Kugel auf einmal doppelten Inhalt hat, nachdem ich ihre Teile nur anders zusammen gesetzt habe. Das Umgekehrte, Halbierung, gibt es mit Sicherheit auch. Wäre ein idealer Weg zur Beseitigung unserer Müllhalden.

   Aber wie kann das sein? Hier spielt uns die Alltagslogik einen typischen Streich, weil sie eben doch nicht streng matematisch logisch ist. Für jede Partition lässt sich zeigen

 V  (  verein ) M ( i ) = SUMME V ( M ( i ) )  ( 2.2 )

  Dabei musst du dich nicht mal auf endliche Summen beschränken; auch Reihen sind zugelassen, wenn sie nur konvergieren.

   Aber auf der rechten Seite von ( 2.2 ) ist die Rede davon, dass jedes Volumen V DEFINIERT ist . Was machst du aber, wenn sich M1, ... ,M5 gar nicht auslitern lassen? Darüber sagt doch ( 2.2 ) gar nichts aus.

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@gilgamesch4711

  Im Fischerlexikon findest du eine faszinierende Konstruktion von nicht messbaren Mengen.

 
Wir gehen aus vom Einheitskreis K ( also diesmal Kreis, nicht Kugel. )
Ansonsten sind die Gegebenheiten mit der Symmetriegruppe G die selben
wie oben; wir fragen nach der Messbarkeit von Kreissektoren. Der
Vollkreis hat natürlich das Maß 2 Pi ; jeder Punkt der Peripherie werde
beschrieben durch seine Polarkoordinate ß .

    z  :=  exp  (  i  ß  )      (  3.1  )

   Jetzt sei ß0 ein Winkel, der nicht rational aufgeht in 2 Pi . D.h.

 (V) n € |Z |   n ß0  < >  0  mod 2 Pi  ( 3.2 )

  
Mal ein Wort in eigener Sache; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem
ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Ich kann es auch; es heißt "
Gleichheitsbeziehung " (  GB ) nicht Äquivalenzrelation. Wir führen also
auf K die GB ( = ) ein

  ß1 (=) ß2 |  (E) n ; ß2 - ß1 = n ß0   ( 3.3 )

  
Offensichtlich enthält jede Gleichheitsklasse von (=) ( abzählbar )
unendliche Punkte. Da der Kreis selber überabzählbar ist, folgt für die
Anzahl Klassen Alef_1.

   Wir alle kennen die Operation, aus jeder
Klasse einen Vertreter auszuwählen. Was du aber nicht mitbekommst: Das
geht nicht ohne ===> Auswahlaxiom ( AA )

   Ich selbst
formuliere es gerne wie folgt. Sei M eine BELIEBIGE Menge ( auch
über-über-über-überabzählbar; und das wird nachher unsere Lizenz zum
Falschgeld Drucken. )

   Sei ferner ihre eigentliche ===> Potenzmenge

    P  (  M  )  :=  2  ^  M  \  { }   (  3.4a  )

  
Die Elemente von P( M ) , also die Teilmengen von M , mögen anschaulich
heißen Urnen von M . Und die Elemente von M nenne ich ihre Kugeln. Dann
gestattet uns das AA , aus jeder Urne eine Kugel zu ziehen; genauer: Es
gibt eine Abbildung a ( a wie " Auswahl " )

  a  :  P ( M ) ===> M   (  3.4b  )

    U  ====>  x  €  U   (  3.4c  )

   
Diese Abbildung a ermöglicht uns, aus jeder Klasse [ ß ] ( die ich wie
üblich in eckigen Klammern schreibe; Klasse hier aufgefasst als Urne  )
einen Vertreter B zu ziehen ( Vertreter aufgefasst als Kugel )

   a  (  [  ß  ]  )  =  B     (  3.4d  )

  Ohne AA wäre zu Mindest fraglich, " welchen " Vertreter wir denn mwinen; ich komme darauf zurück.

  Als Nächstes führe ich die Menge der " Vertreter " ein:

  R  :=  {  B  }     (  3.5  )

   Und jetzt kommt eine Fragestellung nicht unähnlich der ===> Russellschen Antinomie

  " Welches Lebesguemaß - sprich Bogenlänge - hat R? "  

   Zunächst mal musst du dir klar machen: Der Kreis K lässt sich schreiben als abzählbare Vereinigung

   K  =       V       n R    (  3.6a  )

              n € |Z

        

   
schlicht und ergreifend deshalb, weil ja jedes beliebige ß äquivalent
ist zu seinem Vertreter . Hierbei gilt die leicht verständliche Notation

    n  R  :=  R  exp  (  n  i  ß0  )    (  3.6b  )

    Als wesentlich erweist sich noch einmal: Das Lebesguemaß L ( wie " Länge " ) ist invariant unter Rotation

  L ( R ) = L ( +/- 1 R ) = L ( +/ 2 R ) =  ...  (  3.6c  )

  
All diese n R haben somit gleiches Bogenmaß. aber wie groß ist jetzt L(
R ) ?  Widerspruchsbeweis; Annahme L( R ) sei eine Nullmenge.  Grund
legend für Lebesgue; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und
Spickzettel ( FRS )

  "  Eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist stets wieder eine Nullmenge. "

   Dann würde mit ( 3.6a ) folgen: die Gesamtlänge des einheitskreises ist Null.

  Also sei

     L  (  R  )  =:  €  > 0    (  3.7  )

   Dann allerdings wirst du mit ( 3.6ac ) auf eine DIVERGENTE Reihe geführt für die Länge des einheitskreises.

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