Integration von sin^n(x)?

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4 Antworten

Endlich mal wieder eine Frage, die die Bedeutung der hypergeometrischen Funktionen (daher mein Name) zeigt.

Natürlich wollen Lehrer rekursive Herangehensweise gezeigt bekommen, wie bereits 2 der Antworter gezeigt haben.

Für Wissenschaftler, die jedoch gern ganze Zusammenhänge (also kein Schubfachdenken) und explizite Funktionen (sofortiges Ausrechnen auch mit reellen Zahlen statt Rekursionen nur mit ganzen Zahlen) suchen, gibt es die universellen hypergeometrischen Funktionen. Das sind zwar unendliche Summen aus Pochhammersymbolen, aber sie können analog zur sin-Funktion schnell & beliebig genau berechnet werden.

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

baut auf ihnen auf, denn 80% aller anderen lassen sich einfach nur durch Anpassung der Parameter berechnen:

sin(x) = x * hyg0F1(3/2, -x²/4)

Alle guten Rechner haben diese Funktionen eingebaut.

Die genaue Herleitung ist sehr kompliziert und das Ergebnis findet man

http://www.lamprechts.de/gerd/Integral_Substitutionen.html

§D6 und

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_hypergeometrische_Funktion#Stammfunktionen

∫ sin(x)^n dx 

= -cos(x) * hyg2F1(1/2,(1-n)/2,3/2,cos(x)²) * sin(x)^(n+1)/abs(sin(x))^(n+1)

Probe mit einem "krummen" Beispiel:
integrate sin^200(x) dx,x=Pi/7...e 

ergibt 200 Summanden mit je über 60 Stellen (11878 Byte lang !!!!):
=0.177023967696438647042325099541373915553837848403727264
universelle Weg 2:
cos(Pi/7)*sin(Pi/7)^(201)*hypergeometric2F1(1/2,(1-200)/2,3/2,cos^2(Pi/7))/abs(sin(Pi/7))^(201)-cos(e)*sin(e)^(201)*hypergeometric2F1(1/2,(1 -200)/2,3/2,cos^2(e))/abs(sin(e))^(201)
=0.08851198384821932352116254977068695777691892420186363203

+0.08851198384821932352116254977068695777691892420186363203
=0.177023967696438647042325099541373915553837848403727264

- stimmt exakt 

- lässt sich zig mal schneller berechnen 

- funktioniert auch mit reellem n (statt 200 auch 199.333333 usw.)

- leider selbst im Studium kaum behandelt

Wenn es dir darum geht, dass du die Stammfunktion des unbestimmten Integrals brauchst, dann benutze Wolfram Alpha.

Wolfram Alpha kann auch mit ziemlich großen n arbeiten, auch wenn es dann mehrere Sekunden lang dauert.

Ich habe es für n = 200 ausprobiert und Wolfram Alpha schafft das.

Hier mal der Fall für n = 3

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(sin(x))%5E3

Und hier der Fall für n = 200

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(sin(x))%5E200

(Dauert ein paar Sekunden)

Willst du lediglich ein bestimmtes Integral integrieren, dann benutze numerische Integration.

http://matheguru.com/rechner/integrieren/

Mit der Euler´schen Formel:   sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)

--> sin^n(x) = ((e^(ix) - e^(-ix))/(2i))^n

Schließlich können wir den binomischen Lehrsatz benutzen um das ganze als Summe zu schreiben:

http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Kombinatorik/binomischerlehrsatz.pdf

(ganz unten, die letzte Formel)

Die Integration der einzelnen e-Funktionen ist dann ziemlich einfach.

Alternativ lässt sich auch mittels Partieller Integration eine Rekursionsformel herleiten.

partiell integrieren mit

u=sin^(n-1) x

dv = sin(x) dx

Du bekommst dadurch eine Reduktionsformel von n auf n-2 ;-)

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