Integration von t*e^(-st) [Laplace-Transformation]?

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4 Antworten

∫ tⁿ·exp(-st) dt von t=0 bist ∞
= ∫ (-∂/∂s)ⁿ exp(-st) dt
= (-∂/∂s)ⁿ∫ exp(-st) dt (*)
= (-∂/∂s)ⁿ[-1/s · exp(-st)]
= (-1)ⁿ(∂/∂s)ⁿ(-1/s · (0-1))
= (-1)ⁿ(∂/∂s)ⁿ 1/s
= (-1)ⁿ(-1)ⁿn!/sⁿ⁺¹ argumentiere per Induktion
= n!/sⁿ⁺¹

Für n=1 ist gilt also Integral = 1/s².

(*) solche Tausche gelten unter gewissen Umständen, die hier auftreten.

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Kommentar von MG05O
13.10.2016, 21:29

Tut mir leid für die Frage, aber was für ein Zeichen ist das?

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Benutze hier doch die partielle Integration:

int(f'(x)*g(x))dx = f(x)*g(x)-int(f(x)*g'(x))dx

g(x)=t  g'(x)=1

f(x)=-1/s*e^(-st)  f'(x)=e^(-st)

int(e^(-st)*t)dt = -t/s*e^(-st)-int(e^(-st))dt = -t/s*e^(-st)+1/s*e^(-st)+c =

= (1-t)/s*e^(-st)+c

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Nach t oder nach s?

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Kommentar von MG05O
13.10.2016, 21:14

"t", tut mir leid hab das "dt" hinten vergessen

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Mit partieller Integration.

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Kommentar von MG05O
13.10.2016, 21:17

Ja, das ist ja auch der einzige Weg... Kannst du mir vielleicht zeigen wie´s geht?

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