Integration über Dichte?

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2 Antworten

I = Int[ V ]{ f(x) dV } = m     mit  f(x) = 3(x² + y²)*z 

und  f: IR^3 --> IR ,  f aus C^1(IR^3 , IR) , da Polynom. V regulärer Bereich und IR^3 Gebiet mit f C^1 auf diesem Gebiet, so wie V Teilmenge des IR^3.


A(1) = { x aus IR^3: x² + y² = 4 }  (Mantelfläche Zylinder)

A(2) = { x aus IR^3: x -y - z = 0 }  (Ebene mit n = (1,-1,-1)^T )

A(3) = { x aus IR^3: z = 0 }   ( x-y-Ebene )


Aus diesen Flächen lässt sich der Rand unseres Volumens V, dV, bestimmen. Wir erhalten damit für unser Volumen V:

V = { x aus IR^3 | x² + y² <= 4  und  x - y => z >= 0 }

bei diesem Volumen handelt es sich um einen regulären Bereich. Wir wollen nun aufgrund vorhandener Symmetrie anstatt kartesischen Koordinaten Zylinderkoordinaten verwenden. Wir schreiben also (alle Vorraussetzungen an den Transformationsatz sind erfüllt):

x = x(r,p,u) = (r*cos(p) , r*sin(p) , u)

r aus (0,inf)

p aus (0, 2pi)

u aus (-inf, inf)

das Volumenelement dV folgt in dem Falle zu:

" dV = r*dr*dp*du "

Mithilfe dieser Koordinatentransformation folgt nun:

V = { x aus IR^3 | 0 =< r² <= 4 und  r*(cos(p) - sin(p)) >= u >= 0 }

r*(cos(p) - sin(p)) >= 0   mit r > 0

--> cos(p) >= sin(p)

aus welchem Wertebereich p kommt lässt sich an dieser Stelle relativ schnell am Einheitskreis ablesen. Es folgt für p:

-3pi/4 < p < pi/4

Wir können schließlich nun schreiben:

V = { x aus IR^3 |  x = x(r,p,u); (r,p,u)^T aus (0, 2)x(-3pi/4, pi/4)x(0, r*(cos(p) - sin(p)) }

Wir können nun mittels des Transformationssatzes unser anfängliches Integral I umschreiben zu:

I = Int[0,2][-3pi/4,pi/4][0, r*(cos(p) - sin(p))]{ f(x(r,p,u))*r*du*dp*dr }

mit f(x(r,p,u)) = 3r²*u

--> I = Int[V]{ 3r³*u*du*dp*dr

--> I = Int[0,2][-3pi/4, pi/4]{ (3/2)*r^5 *(cos(p) - sin(p))² dp*dr }

--> I = Int[0,2][-3pi/4, pi/4]{ (3/2)*r^5 *(1 - 2*sin(p)cos(p)) dp*dr }

--> I = Int[0,2]{ pi*(3/2)*r^5 dr } - Int[0,2][-3pi/4, pi/4]{ 3*r^5*sin(p)cos(p) dp*dr}

mit  sin(p)cos(p) = sin(2p)/2  folgt, dass aufgrund der pi-Periodizität das zweite Integral wegfällt (= 0 ist, Integration eines Sinus über seine Periode). Somit folgt dann:

--> I = Int[0,2]{ pi*(3/2)*r^5 dr } = (3/2)*pi*(2^6)/6 = pi*2^4 = 16*pi

Alles in allem erhalten wir also:

I = Int[V]{ f(x) dV} = 16pi    

, wie es in als richtige Lösung auch in deinem Buch steht.


Anmerkung:

Vektorwertige Größen wurden mittels "Fettschrift" hervorgehoben. Neben vektorwertigen Größen wurden ebenfalls auch infinitesimale Größen markiert, diese sollten sich aber ohne großen Aufwand erkennen lassen.

Dir sind beim integrieren anscheinend ein paar Fehler unterlaufen (oder Tippfehler?): Nach dem r Integral müsstest du auf 16*(cos(phi)-sin(phi))^2 kommen und nach dem letzten auf 32*pi.

Jedoch hätte ich dasselbe Dreifachintegral aufgestellt (komme also auf 32*pi), vielleicht ist auch die Lösung im Buch falsch... Oder hast du evtl. etwas falsch abgeschrieben?

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