Integralrechnung schwepunkt S einer Homogene Fläche?

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3 Antworten

Zur Aufgabe 2a:

Die Fläche A ist das Integral(sinx)dx von a=0 bis a=pi, das ist -cos(pi) + cos(0) =  -(-1) +1 = 2.

Für die Berechnung der Koordinaten xs und ys des Schwerpunktes S dieser Fläche gibt es die Formeln.

xs = Integral(x*f(x))dx von a bis b geteilt durch die Fläche A., mit der gegebenen Funktion f(x) = sinx, a=0 und b=pi und A=2 also
xs = (1/2)*(Integral(x*sinx)dx von 0 bis pi).

ys = (1/2)*(Integral(f(x)²)dx von a bis b) geteilt durch die Fläche A. Mit f(x) = sinx und a=0 und b=pi und A=2 also
ys = (1/4)*(Integral(sin²x)dx von 0 bis pi)

Zur Aufgabe 2b:

Für die Berechnung der Bogenlänge s zwischen Punkt A und B gibt es die Formel

s = Integral(Wurzel(1 + (f'(x))²))dx von a bis b

Zur Berechnung muss man hier die vorgegebene Funktion
f(x) = (1/2)*x*Wurzel(x) +1 erst differenzieren:
f'(x) = (1/2)*(3/2)*Wurzel(x) = (3/4)*Wurzel(x), dann quadrieren:
(f'(x))² = (9/16)x und erhält dann

s = Integral(Wurzel(1 + (9/16)x))dx von a=0 bis b= 4)
   = (1/4)*Integral(Wurzel(16 + 9x))dx von 0 bis 4

Wie in der Aufgabe angegeben, kann man substituieren u = 16 + 9x und damit die Berechnung erleichtern.

Es grüßt HEWKLDOe.

Hallo Lubbbblaaaa

Als Ergänzung zu meiner Antwort schicke ich hiermit noch die Ausrechnung der Werte für xs, ys und s:

xs = (1/2)*Integral(x*sinx)dx von 0 bis pi = (1/2)*(sinx - x*cosx) von 0 bis pi =
    = (1/2)(sin(pi) - pi*cos(pi) - (sin0 - 0*cos0)) = (1/2)*(0 - pi*(-1) - 0 + 0*1) =
xs = pi/2
Diesen Wert konnte man auch ohne Rechnung erkennen, da die Sinusfunktion und damit ihre Fläche an der Geraden x=xs gespiegelt wird.

ys = (1/4)*Integral(sin²x)dx von 0 bis pi =
     = (1/4)*(1/2)*(x - sinx*cosx) von 0 bis pi =
     = (1/8)*(pi - sin(pi)*cos(pi) - (0 - sin0*cos0)) = 
     = (1/8)*(pi - 0*(-1) - (0 - 0*1)) =
ys = pi/8
Dieser Wert ist etwas kleiner als 1/2. Das ist plausibel, denn wäre an Stelle der Sinusfunktion ein Rechteck mit der Höhe 1 gewesen, dann hätte dessen ys-Wert 1/2 betragen. Die Sinusfunktion hat aber ihre Fläche wegen der fehlenden Ecken näher an der x-Achse und damit auch den Flächenschwerpunkt näher an der x-Achse.

s = (1/4)*Integral(Wurzel(16 + 9x))dx von 0 bis 4.
Für dieses Integral gibt es in den Integral-Formelsammlungen eine schon berechnete Stammfunktion, so dass man sich die umständlichere Integration durch Substitution ersparen kann:
s = (1/4)*(2/(3*9))*(9x+16)^(3/2) von 0 bis 4 =
   = (1/54)*((9*4 + 16)^(3/2) - (9*0 + 16)^(3/2)) =
   = (1/54)*(52^(3/2) - 16^(3/2)) = (1/54)*(374,9773 - 64) = 310,9773/54 =
s = 5,7588
Die Seillänge von Punkt P1 zu Punkt P2 beträgt demnach rund 5,76 m. Das ist plausibel, wenn man sich die Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem ansieht. Die direkte (geradlinige) Verbindungslinie zwischen beiden Punkten hat die Länge Wurzel(4² + 4²) m = Wurzel(32) m = = 5,6569 m, also rund 5,66 m und ist damit erwartungsgemäß nur ein wenig kürzer.

Es grüßt HEWKLDOe.

Wie du das Integral berchnest sollte klar sein.

Für x_s berechnest du das Integral im Bereich [0,a] und im Bereich [a,pi]. Dann variierst du a bis beide Ergebnisse gleich sind (das ist ja quasi die Definition des Schwerpunktes)

y_s wird etwas umständlicher, mir fällt zumindest keine einfachere Lösung ein. Zeichne eine Skizze der Funktion und setze den Punkt a auf pi/2 (das wird tatsächlich x_s sein). Ziehe bei beliebiger Höhe y_s eine horizontale Linie. Nun wurde die Funktion, falls du y_s nicht zu hoch gesetzt hast, in zwei Bereiche geteilt sein. Die untere Fläche kannst du aufteilen - von 0 bis zu dem x-Wert, an dem die horizontale Linie die Funktion durchläuft. Da beginnt die zweite Fläche (sie ist ein Rechteck) bis zu dem äquivalenten Punkt rechts des Rechtecks (Schnittpunkt Horizontale mit Funktion). Da beginnt die dritte Fläche bis pi. Wie du den Flächeninhalt der drei Flächn berechnest sollte klar sein. Diese drei Flächen müssen so groß sein wie die über der Horizontalen. Die Fläche darüber ist die Fläche unter der Funktion in den oben genannten Grenzen minus dem Rechteck.

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