Integralrechnung - Geometrische Interpretation?

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3 Antworten

Ich kenne eine schöne geometrische Interpretation für die Integralrechnung -->

Du legst eine Kugel in ein räumliches, dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem xyz, und zwar so, dass der Mittelpunkt dieser Kugel genau im Ursprung dieses genannten Koordinatensystems liegt.

Die Kugel läuft dann entlang der z - Achse (Höhenachse) von -r bis +r wobei r der Radius dieser Kugel ist.

Nun stelle dir mal vor, du könntest diese Kugel horizontal entlang der z - Achse im Bereich von -r bis +r aufsteigend in unendlich viele infinitesimal dicht bei einander liegende Kreise zerschneiden.

Die Fläche eines dieser Kreise wird durch A = (pi / 4) * d ^ 2 beschrieben.

d hängt davon ab, an welcher horizontalen Position auf der z - Achse im Bereich von -r bis +r zerschnitten wird.

d aus der Formel für A wird durch die Formel d = 2 * √(r² - z²) beschrieben, wobei z von -r bis +r läuft.

d kann man nun in die Formel für A einsetzen, A kann dabei als Funktion von z aufgefasst werden -->

A(z) = (pi / 4) * (2 * √(r² - z²)) ^ 2

Das Volumen dieser Kugel erhältst du nun durch die Aufsummierung der Flächeninhalte aller dieser unendlich vielen, infinitesimal dicht bei einander liegenden Kreise, also durch die Aufsummierung von A(z)

Und das ist genau das, was die Integralrechnung macht !!

Schau mal hier -->

http://goo.gl/OOSaR5

Man erhält dann die in jeder Formelsammlung zu findende Volumenformel einer Kugel, nämlich V = (4 * pi * r ^ 3) / 3

Die Volumenformel der Kugel lässt sich also schön durch die Integralrechnung herleiten.

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Kommentar von Equlibrium
08.01.2016, 21:06

Das heißt, das die geometrische Interpretation von Integralen allgemein die Fläche zwischen einer Funktion f und der x-Achse und die Berechnung des Volumens eines Körpers ist ?

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So wie die Unterthemen aufgebaut sind fällt mir auch nicht viel mehr zur "Geometrischen Interpretation" ein.
Vielleicht noch, dass bei einem negativen Integral darauf geschlossen werden kann, dass sich der größere Teil der betrachteten Fläche unterhalb der x-Achse befinden muss. (Grund hierfür?  -> Herleitung der Integrale aus Proukten von (Teil)Intervallbreite und Funktionswerten).

Für mich klingt das nicht so, als ob Du auf physikalische (z.B. Integral über die Geschwindigkeit ergibt Entfernung vom Ausgangspunkt) oder andere Anwendungen eingehen müsstest.

Evtl. noch mal mit dem Lehrer/der Lehrerin abklären?

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Mit einer Substitution (wenn auch nicht mit Sinus) kann ich dir behilflich sein:

https://www.gutefrage.net/frage/wie-integriert-man-verschachtelte-funktionen?foundIn=list-answers-by-user#answer-189673440

Die Durchführung steht nun zufällig in einem Kommentar.
Such mal nach Volens. Sie ist gar nicht so lang.

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Kommentar von Equlibrium
09.01.2016, 00:01

Also ich habe von der Lehrerin 3 Aufgaben bekommen:

1. 

Integral 1/sin(x) dx mit x element von (0, pi)

2.

Integral x^2 + 1 / x wurzel(x^4 + 1) dx mit x element von (0, unendlich)

3. 

Integral tan(x) dx mit x element von (-pi/2 , pi/2)

Bin zwar gerade dabei herum zu probieren wie ich das lösen könnte aber jegliche art von Hilfe wäre ich dankbar 

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